Editing Dynamik des statistischen Operators
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Latest revision | Your text | ||
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Suche eine Gleichung für | Suche eine Gleichung für | ||
<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}</math> | |||
: | : | ||
<math>\begin{align} | |||
& \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ | & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ | ||
& \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ | & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ | ||
Line 14: | Line 14: | ||
{{Def| | {{Def| | ||
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators | |||
|von Neimanngleichung}} | |von Neimanngleichung}} | ||
<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math> | |||
<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System! | |||
oder | oder | ||
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho \right]{{O}_{s}} \right)</math> | |||
erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung | erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung | ||
Line 32: | Line 32: | ||
==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente== | ==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente== | ||
* was kann man mit | * was kann man mit | ||
<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen? | |||
* in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt | * in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt | ||
* in der Statistik: <math>\begin{align} | * in der Statistik: <math>\begin{align} | ||
Line 45: | Line 45: | ||
==Interpreation der Dichtematrixelmente== | ==Interpreation der Dichtematrixelmente== | ||
<math>{{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle n \right| \right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> | |||
Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand <math>\left| n \right\rangle </math>, von z.B | Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand <math>\left| n \right\rangle </math>, von z.B | ||
<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> zu finden | |||
<math>{{p}_{nm}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle m \right| \right)={{\rho }_{nm}}</math> | |||
Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math> | Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math> | ||
Was man braucht um <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle </math> zu berechnen sind <math>\rho_{nm}(t)</math>, für <math>m=n</math> und auch für <math>n\neq m</math>. | Was man braucht um <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle </math> zu berechnen sind <math>\rho_{nm}(t)</math> , für <math>m=n</math> und auch für <math>n\neq m</math>. | ||
Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: | Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: | ||
aus von Neumanngleichung | aus von Neumanngleichung | ||
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho \right]\to {{{\dot{\rho }}}_{nn}},{{{\dot{\rho }}}_{nm}}=?</math> | |||
<math>\left\langle n \right|\ldots \left| n \right\rangle </math> | |||
also | also | ||
<math>\begin{align} | |||
& i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle n \right|\left[ H,\rho \right]\left| n \right\rangle \\ | & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle n \right|\left[ H,\rho \right]\left| n \right\rangle \\ | ||
& =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle m \right|H\left| n \right\rangle \right)} \\ | & =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle m \right|H\left| n \right\rangle \right)} \\ | ||
Line 72: | Line 72: | ||
Die Bewegungsgleichung für | Die Bewegungsgleichung für | ||
<math>{{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> koppelt an <math>{{\rho }_{nm}}\,\left( n\ne m \right)</math> braucht also Gleichung für <math>{{\rho }_{nm}}</math> analog <math>\sum\limits_{i}{\left| i \right\rangle \left\langle i \right|}</math> einschieben | |||
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{\left( {{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}} \right)}</math> | |||
man hat ein geschlossens Gleichunssystem für | man hat ein geschlossens Gleichunssystem für | ||
<math>{{\rho }_{mn}}</math> die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem | |||
<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> | |||
<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }}_{\begin{smallmatrix} | |||
\text{externe Felder sind} \\ | \text{externe Felder sind} \\ | ||
\text{ nicht diagonal} | \text{ nicht diagonal} |