Editing Dynamik des statistischen Operators

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Suche eine Gleichung für
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:<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
:
:




:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
   & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
  & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
  & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
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{{Def|
{{Def|
:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators
|von Neimanngleichung}}
|von Neimanngleichung}}


:<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math>
<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math>
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System!
<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System!


oder
oder


:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho  \right]{{O}_{s}} \right)</math>
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho  \right]{{O}_{s}} \right)</math>
erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung
erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung


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==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente==
==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente==
* was kann man mit
* was kann man mit
:<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen?
<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen?
* in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle  {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle  n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt
* in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle  {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle  n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt
* in der Statistik: <math>\begin{align}
* in der Statistik: <math>\begin{align}
   & {{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right) \\
   & {{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right) \\
  & =\sum\limits_{j}{\left\langle  j \right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| n \right\rangle \left\langle  n | j \right\rangle } \\
  & =\sum\limits_{j}{\left\langle  j \right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|\left| j \right\rangle } \\
  & =\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle  j | j \right\rangle }_{1}\sum\limits_{i}{\left\langle  {{\Psi }_{i}} | n \right\rangle }\left\langle  n \right|{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle } \\
  & =\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle  j \right|\left| j \right\rangle }_{1}\sum\limits_{i}{\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|\left| n \right\rangle }\left\langle  n \right|{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle } \\
  & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  n | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} | n \right\rangle }=\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle   
  & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  n \right|\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|\left| n \right\rangle }=\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle   
\end{align}</math> Der Wert <math>\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand  <math>\left| n \right\rangle </math> bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem <math>\left| n \right\rangle </math>).
\end{align}</math> Der Wert <math>\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand  <math>\left| n \right\rangle </math> bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem <math>\left| n \right\rangle </math>).






==Interpreation der Dichtematrixelmente==
==Interpreation der Diochtematrixelmente==
 
:<math>{{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math>
 
Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand <math>\left| n \right\rangle </math>, von z.B
 
:<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> zu finden
 
:<math>{{p}_{nm}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  m \right| \right)={{\rho }_{nm}}</math>
Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math>
 
Was man braucht um <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle </math> zu berechnen sind <math>\rho_{nm}(t)</math>, für <math>m=n</math> und auch für <math>n\neq m</math>.
 
Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen:
aus von Neumanngleichung
:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]\to {{{\dot{\rho }}}_{nn}},{{{\dot{\rho }}}_{nm}}=?</math>
 
:<math>\left\langle  n \right|\ldots \left| n \right\rangle </math>
 
also
 
 
:<math>\begin{align}
  & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle  n \right|\left[ H,\rho  \right]\left| n \right\rangle  \\
& =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle  n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle  m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle  n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle  m \right|H\left| n \right\rangle  \right)} \\
& i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\sum\limits_{m}{\left( {{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}} \right)}
\end{align}</math>
 
Die Bewegungsgleichung für
:<math>{{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> koppelt an <math>{{\rho }_{nm}}\,\left( n\ne m \right)</math> braucht also Gleichung für <math>{{\rho }_{nm}}</math>  analog <math>\sum\limits_{i}{\left| i \right\rangle \left\langle  i \right|}</math> einschieben
:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{\left( {{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}} \right)}</math>
 
man hat ein geschlossens Gleichunssystem für
:<math>{{\rho }_{mn}}</math> die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem
 
:<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>
 
 
:<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }}_{\begin{smallmatrix}
\text{externe Felder sind} \\
\text{ nicht diagonal}
\end{smallmatrix}}</math>
 
 
'''Interpretation:'''
 
[[Bild:??]]
 
((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))
 
wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt.
Siehe nächstes Kapitel.
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