Editing Dynamik des statistischen Operators

<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|2}}</noinclude>

Suche eine Gleichung für
<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
:


<math>\begin{align}
  & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
 & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
 & \text{h}\text{.c}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|=\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|H\quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
 & \Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left( H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|-\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|H \right)} \\
\end{align}</math>
 
{{Def|
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators
|von Neimanngleichung}}

<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math>
<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System!

oder

<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho  \right]{{O}_{s}} \right)</math>
erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist <u>keine</u>: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)


==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente==
* was kann man mit
<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen?
* in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle  {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle  n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt
* in der Statistik: <math>\begin{align}
  & {{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right) \\
 & =\sum\limits_{j}{\left\langle  j \right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  j \right\rangle } \\
 & =\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle  j  |  j \right\rangle }_{1}\sum\limits_{i}{\left\langle  {{\Psi }_{i}}  |  n \right\rangle }\left\langle  n \right|{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle } \\
 & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  n  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}}  |  n \right\rangle }=\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle  
\end{align}</math> Der Wert <math>\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand  <math>\left| n \right\rangle </math> bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem <math>\left| n \right\rangle </math>).



==Interpreation der Dichtematrixelmente==

<math>{{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math>

Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand <math>\left| n \right\rangle </math>, von z.B

<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> zu finden

<math>{{p}_{nm}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  m \right| \right)={{\rho }_{nm}}</math>
Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math>

Was man braucht um <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle </math> zu berechnen sind <math>\rho_{nm}(t)</math>, für <math>m=n</math> und auch für <math>n\neq m</math>.

Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen:
aus von Neumanngleichung
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]\to {{{\dot{\rho }}}_{nn}},{{{\dot{\rho }}}_{nm}}=?</math>

<math>\left\langle  n \right|\ldots \left| n \right\rangle </math>

also


<math>\begin{align}
  & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle  n \right|\left[ H,\rho  \right]\left| n \right\rangle  \\
 & =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle  n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle  m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle  n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle  m \right|H\left| n \right\rangle  \right)} \\
 & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\sum\limits_{m}{\left( {{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}} \right)} 
\end{align}</math>

Die Bewegungsgleichung für
<math>{{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> koppelt an <math>{{\rho }_{nm}}\,\left( n\ne m \right)</math> braucht also Gleichung für <math>{{\rho }_{nm}}</math>  analog <math>\sum\limits_{i}{\left| i \right\rangle \left\langle  i \right|}</math> einschieben
<math>i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{\left( {{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}} \right)}</math>

man hat ein geschlossens Gleichunssystem für
<math>{{\rho }_{mn}}</math> die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem

<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>


<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }}_{\begin{smallmatrix}
 \text{externe Felder sind} \\
 \text{ nicht diagonal}
\end{smallmatrix}}</math>


'''Interpretation:'''

[[Bild:??]]

((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))

wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt.
Siehe nächstes Kapitel.