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Dynamik des statistischen Operators
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<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|2}}</noinclude> Suche eine Gleichung für :<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}</math> : :<math>\begin{align} & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ & \text{h}\text{.c}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|=\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|H\quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ & \Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left( H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|-\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|H \right)} \\ \end{align}</math> {{Def| :<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators |von Neimanngleichung}} :<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math> :<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System! oder :<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho \right]{{O}_{s}} \right)</math> erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung aber Vorsicht ist <u>keine</u>: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß) ==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente== * was kann man mit :<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen? * in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt * in der Statistik: <math>\begin{align} & {{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle n \right| \right) \\ & =\sum\limits_{j}{\left\langle j \right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| n \right\rangle \left\langle n | j \right\rangle } \\ & =\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle j | j \right\rangle }_{1}\sum\limits_{i}{\left\langle {{\Psi }_{i}} | n \right\rangle }\left\langle n \right|{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle } \\ & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle n | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} | n \right\rangle }=\left\langle n \right|\rho \left| n \right\rangle \end{align}</math> Der Wert <math>\left\langle n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem <math>\left| n \right\rangle </math>). ==Interpreation der Dichtematrixelmente== :<math>{{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle n \right| \right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand <math>\left| n \right\rangle </math>, von z.B :<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> zu finden :<math>{{p}_{nm}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle m \right| \right)={{\rho }_{nm}}</math> Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math> Was man braucht um <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle </math> zu berechnen sind <math>\rho_{nm}(t)</math>, für <math>m=n</math> und auch für <math>n\neq m</math>. Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: aus von Neumanngleichung :<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho \right]\to {{{\dot{\rho }}}_{nn}},{{{\dot{\rho }}}_{nm}}=?</math> :<math>\left\langle n \right|\ldots \left| n \right\rangle </math> also :<math>\begin{align} & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle n \right|\left[ H,\rho \right]\left| n \right\rangle \\ & =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle m \right|H\left| n \right\rangle \right)} \\ & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\sum\limits_{m}{\left( {{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}} \right)} \end{align}</math> Die Bewegungsgleichung für :<math>{{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> koppelt an <math>{{\rho }_{nm}}\,\left( n\ne m \right)</math> braucht also Gleichung für <math>{{\rho }_{nm}}</math> analog <math>\sum\limits_{i}{\left| i \right\rangle \left\langle i \right|}</math> einschieben :<math>i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{\left( {{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}} \right)}</math> man hat ein geschlossens Gleichunssystem für :<math>{{\rho }_{mn}}</math> die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem :<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> :<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }}_{\begin{smallmatrix} \text{externe Felder sind} \\ \text{ nicht diagonal} \end{smallmatrix}}</math> '''Interpretation:''' [[Bild:??]] ((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung)) wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt. Siehe nächstes Kapitel.
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