Editing Dynamik des 2- Zustands- Systems
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{{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}} | {{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}} | ||
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum). | Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum). | ||
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator: | Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator: | ||
:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math> | :<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math> | ||
Line 26: | Line 26: | ||
:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math> | :<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math> | ||
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. | Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. | ||
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. | Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. | ||
Die Lösung der Diffgleichung liefert: | Die Lösung der Diffgleichung liefert: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 33: | Line 33: | ||
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\ | & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
[[File: | [[File:Moglf2119_Peonza_simétrica.jpg|miniatur|klassischer Kreisel]] | ||
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. | Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. | ||
Line 46: | Line 46: | ||
Mit anderen Worten: | Mit anderen Worten: | ||
:<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht! | :<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht ! | ||
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld. | Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld. |