Editing Dynamik des 2- Zustands- Systems

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|2}}</noinclude>
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins <math>\bar{\mu }</math> im äußeren Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math> beträgt:

:<math>V=-\hat{\bar{\mu }}\cdot \bar{B}</math> mit <math>\hat{\bar{\mu }}=+g\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{S}}=+\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}</math> mit g~ 2 und   e<0

Somit:

<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>

{{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}}

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>

Berechnung der Erwartungswerte mit <math>\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{l}}</math>:
:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle  \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle  \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle =0 \\
\end{align}</math>

Dies läßt sich reduzieren:
:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
<math>\begin{align}
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\
\end{align}</math>
[[File:Moglf2119 Peonza simétrica.jpg|miniatur|klassischer Kreisel]]

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math>

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

:<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}\left[ {{\cos }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\sin }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \right]+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}</math>

Mit anderen Worten:

:<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld.

==Schrödingergleichung  für die Spinzustände==
{{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math>   '''(Schrödingergleichung  für Spinzustände)'''|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}

Achtung! Nur  Spin- Hamiltonian!

Dabei muss der Zustand <math>\left| a(t) \right\rangle </math>  in der Spinbasis entwickelbar sein:
<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow  \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow  \right\rangle </math>

'''Matrix- Darstellung:'''

:<math>\hbar {{\omega }_{l}}\left( \begin{matrix}
1 & 0  \\
0 & -1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{a}_{1}}(t)  \\
{{a}_{2}}(t)  \\
\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
{{a}_{1}}(t)  \\
{{a}_{2}}(t)  \\
\end{matrix} \right)\Leftrightarrow \begin{matrix}
-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{{\dot{a}}}_{1}}  \\
i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{{\dot{a}}}_{2}}  \\
\end{matrix}</math>

Die Lösung lautet:

<math>\begin{align}
& {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\
& {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\
\end{align}</math>

<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow  \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow  \right\rangle </math>

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben!