Editing Dynamik des 2- Zustands- Systems
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 50: | Line 50: | ||
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld. | Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld. | ||
==Schrödingergleichung für die Spinzustände== | ==Schrödingergleichung für die Spinzustände == | ||
{{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math> | {{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math>|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}} | ||
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian! | Achtung! Nur Spin- Hamiltonian! | ||
Line 83: | Line 83: | ||
:<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> | :<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> | ||
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben! | Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben ! | ||
===Zustände mit Bahn- und Spinvariablen=== | |||
Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> | |||
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\ | |||
& \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\ | |||
& \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt. | |||
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math> | |||
( äquivalente Sprechweise): | |||
<math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math> | |||
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
zerlegt werden: | |||
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
mit | |||
<math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math> | |||
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand <math>\alpha =1,2</math> | |||
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies: | |||
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix} | |||
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix} | |||
\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\end{matrix} \right)</math> | |||
Mit | |||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\end{matrix} \right)</math> | |||
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
folgt aus: | |||
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math> | |||
Weiter: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
& \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> | |||
am Ort <math>\bar{r}</math> | |||
, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math> | |||
und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math> | |||
. Dabei gilt: | |||
{{#ask:[[Kategorie:Mechanik]] [[Abschnitt::0]] | |||
|format=ol | |||
|order=ASC | |||
|sort=Kapitel | |||
|offset=0 | |||
|limit=20 | |||
}} entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math> | |||
mit Spin <math>\uparrow </math> | |||
bzw. Spin <math>\downarrow </math> | |||
zu finden. | |||
<u>'''Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum'''</u> | |||
Hamilton- Operator für Bahn: | |||
<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math> | |||
Elektron mit Ladung e<0 | |||
Wirkt alleine im Hilbertraum <math>{{H}_{B}}</math> | |||
Hamilton- Operator für Spin: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ | |||
& {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>{{\hat{H}}_{S}}</math> | |||
wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math> | |||
Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math> | |||
: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
& \alpha =1,2 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math> | |||
: | |||
Es gilt (äquivalente Darstellung): | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ | |||
& \alpha =1,2 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei | |||
<math>1</math> | |||
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix} | |||
1 & 0 \\ | |||
0 & 1 \\ | |||
\end{matrix} \right)</math> | |||
MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math> | |||
: | |||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> | |||
In Matrix- Darstellung: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left( \begin{matrix} | |||
{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\ | |||
0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\ | |||
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} | |||
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix} | |||
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\end{matrix} \right) \\ | |||
& \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
& \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
PAULI- GLEICHUNG | |||
'''Anwendung''' | |||
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math> | |||
<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math> | |||
Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math> | |||
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert. | |||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ | |||
& \hat{H}\cong \left[ \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\ | |||
& \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\ | |||
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math> | |||
eine Korrektur an die Energie. | |||
'''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin''' | |||
<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> | |||
Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> | |||
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung | |||
<math>B\ne 0</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\ | |||
& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\ | |||
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\ | |||
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[ {{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Das bedeutet: | |||
teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math> | |||
- fachen Entartung | |||
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !) | |||
<math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math> | |||
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment | |||
<math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math> | |||
Dabei entspricht | |||
<math>2</math> | |||
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben). | |||
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math> | |||
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ): | |||
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben ! | |||
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen ! | |||
'''Tabelle: Landé- Faktoren''' | |||
'''Teilchen''' '''s''' '''g''' '''Q''' | |||
'''Elektron''' '''1/2''' '''2''' '''-e''' | |||
'''Proton''' '''1/2''' '''5,59''' '''e''' | |||
'''Neutron''' '''1/2''' '''-3,83''' '''0''' | |||
'''Neutrino''' '''1/2''' '''0''' '''0''' | |||
'''Photon''' '''1''' '''0''' '''0''' |