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Dynamik des 2- Zustands- Systems
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|2}}</noinclude> Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins <math>\bar{\mu }</math> im äußeren Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math> beträgt: :<math>V=-\hat{\bar{\mu }}\cdot \bar{B}</math> mit <math>\hat{\bar{\mu }}=+g\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{S}}=+\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}</math> mit g~ 2 und e<0 Somit: :<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math> {{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}} Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator: :<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math> Berechnung der Erwartungswerte mit <math>\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{l}}</math>: :<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math> :<math>\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle =0 \\ \end{align}</math> Dies läßt sich reduzieren: :<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math> Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert: :<math>\begin{align} & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\ \end{align}</math> [[File:Moglf2119 Peonza simétrica.jpg|miniatur|klassischer Kreisel]] Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.: :<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math> Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich : :<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}\left[ {{\cos }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\sin }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \right]+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}</math> Mit anderen Worten: :<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht! Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld. ==Schrödingergleichung für die Spinzustände== {{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math> '''(Schrödingergleichung für Spinzustände)'''|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}} Achtung! Nur Spin- Hamiltonian! Dabei muss der Zustand <math>\left| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein: :<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle </math> '''Matrix- Darstellung:''' :<math>\hbar {{\omega }_{l}}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}(t) \\ {{a}_{2}}(t) \\ \end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}(t) \\ {{a}_{2}}(t) \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \begin{matrix} -i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{{\dot{a}}}_{1}} \\ i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{{\dot{a}}}_{2}} \\ \end{matrix}</math> Die Lösung lautet: :<math>\begin{align} & {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\ & {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\ \end{align}</math> :<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben!
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