Editing Dirac- Gleichung für Elektronen

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|7|3}}</noinclude>

Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand <math>\Psi (\bar{r},0)</math>

eindeutig festgelegt sein.

Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:

:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>

Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in <math>\frac{\partial }{\partial x}</math>

sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.

Dies motiviert das Konzept

:<math>\hat{H}=c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta =\frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta </math>

Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung

:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\cdot \nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi </math>

mit

:<math>\bar{\alpha }\cdot \nabla ={{\alpha }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\alpha }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\alpha }^{3}}{{\partial }_{3}}={{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}</math>

:<math>i\hbar {{\partial }_{0}}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi </math>

Aufgrund der Isotropie des Raumes können <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>

keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>

Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch <math>\beta </math>

eine Matrix

Wegen der Lorentz- Kovarianz können  <math>\bar{\alpha }</math>

und <math>\beta </math>

nicht auf die Bahnvariable <math>\bar{r}</math>

einwirken.

Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen!

Es gilt:

:<math>\Psi \in H={{H}_{B}}\otimes {{H}_{S}}</math>

Die Wellenfunktionen leben  also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum!

Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.

Dies ist der sogenannte SPINOR!!

:<math>\Psi =\left( \begin{matrix}

{{\Psi }_{1}}  \\
.
..  \\

{{\Psi }_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

:<math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>

und somit auch <math>\beta </math>

sind also nxn Matrizen!

Dabei vertauschen die <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>

mit dem Impuls:

:<math>\left[ \bar{\alpha },\bar{p} \right]=0</math>

====Fazit:====
Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: <math>\Psi =\left( \begin{matrix}

{{\Psi }_{1}}  \\
.
..  \\

{{\Psi }_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

====Hermitizität====
:<math>\hat{H},\hat{\bar{p}}</math>

sind hermitesch

:<math>{{\hat{H}}^{+}}=c{{\bar{p}}^{+}}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c\bar{p}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c{{\bar{\alpha }}^{+}}\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=H</math>

Somit sind auch <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>

und somit auch <math>\beta </math>

hermitesch:

:<math>\begin{align}

& {{{\bar{\alpha }}}^{+}}=\bar{\alpha } \\

& {{\beta }^{+}}=\beta  \\

\end{align}</math>

Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
.
 Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von <math>\bar{\alpha },\beta </math>

durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:

:<math>\begin{align}

& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi  \\

& -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi  \\

& \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\left( \bar{\alpha }\bar{p}\beta +\beta \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi  \\

& \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi  \\

\end{align}</math>

Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:

:<math>\begin{align}

& -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi  \\

& \Rightarrow \left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi  \\

\end{align}</math>

Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:

:<math>\begin{align}

& \sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)={{p}^{2}} \\

& \Rightarrow {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1 \\

& \ {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu  \\

& {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0 \\

& {{\beta }^{2}}=1 \\

\end{align}</math>

Dabei gilt insbesondere obige Relation <math>{{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0</math>

und <math>{{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu </math>

ohne Summation.

Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.

Sowohl die verschiedenen Komponenten von  <math>\alpha </math>
,
 also <math>{{\alpha }^{\mu }}und{{\alpha }^{\nu }}</math>

antikommutieren, wie auch <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>

:

:<math>\left\{ {{\alpha }^{\mu }},{{\alpha }^{\nu }} \right\}=0</math>

:<math>\left\{ {{\alpha }^{\mu }},\beta  \right\}=0</math>

<u>'''Matrizendarstellung von '''</u><math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>

als  nxn- Matrix

<u>'''Eigenschaften'''</u>

Die Eigenwerte von <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>

sind<math>\pm 1</math>

:<math>{{v}^{\mu }}=c{{\alpha }^{\mu }}</math>

ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons

Beweis: Die Eigenwerte von <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>

sind<math>\pm 1</math>

:

:<math>{{\alpha }^{\mu }}v=\lambda v</math>

mit <math>\lambda \in R</math>

:<math>\begin{align}

& {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}v={{\lambda }^{2}}v \\

& {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\lambda }^{2}}=1 \\

& \Rightarrow \lambda =\pm 1 \\

\end{align}</math>

Weiter gilt: <math>tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta  \right)=0</math>

Beweis:

:<math>tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta  \right)</math>

wegen zyklischer Vertauschbarkeit.

Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:

:<math>tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta  \right)=tr\left( \beta (-\beta {{\alpha }^{\mu }}) \right)=-tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=-tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=0</math>

'''Weitere Einschränkungen:'''

:<math>\begin{align}

& tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{\lambda }_{i}}=0 \\

& {{\lambda }_{i}}=\pm 1 \\

\end{align}</math>

Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.

<u>'''Diskussion: n=2:'''</u>

Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt!

:<math>\begin{align}

& {{\sigma }^{1}}=\left( \begin{matrix}

0 & 1  \\

1 & 0  \\

\end{matrix} \right) \\

& {{\sigma }^{2}}=\left( \begin{matrix}

0 & -i  \\

i & 0  \\

\end{matrix} \right) \\

& {{\sigma }^{3}}=\left( \begin{matrix}

1 & 0  \\

0 & -1  \\

\end{matrix} \right) \\

& tr{{\sigma }^{\mu }}=0 \\

\end{align}</math>

Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im <math>{{R}^{2}}\otimes {{R}^{2}}</math>

'''n=4'''

Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:

:<math>\begin{align}

& {{\alpha }^{\mu }}=\left( \begin{matrix}

0 & {{\sigma }^{\mu }}  \\

{{\sigma }^{\mu }} & 0  \\

\end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\

& \beta =\left( \begin{matrix}

1 & 0  \\

0 & -1  \\

\end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\

\end{align}</math>

Also schreibt sich der Zustand

:<math>\begin{align}

& \Psi =\left( \begin{matrix}

{{\Psi }_{1}}  \\

{{\Psi }_{2}}  \\

{{\Psi }_{3}}  \\

{{\Psi }_{4}}  \\

\end{matrix} \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}(\bar{r},t){{{\bar{e}}}_{s}} \\

& {{{\bar{e}}}_{s}}:=\left( \begin{matrix}

0  \\
.
..  \\

1  \\
.
..  \\

\end{matrix} \right)\leftarrow 1\ an\ s-ter\ Stelle \\

\end{align}</math>

'''Bemerkung:'''

In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor!

Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.

Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen!

====Kontinuitätsgleichung====
:<math>\begin{align}

& i\hbar \dot{\Psi }=-i\hbar c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi  \\

& -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}=i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi  \right)}^{+}} \\

& {{\left( \beta \Psi  \right)}^{+}}={{\Psi }^{+}}\beta  \\

& {{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)}^{+}}=\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }} \\

\end{align}</math>

Durch Linksmultiplikation mit <math>{{\Psi }^{+}}</math>

bzw. Rechtsmultiplikation mit <math>\Psi </math>

gewinnt man :

:<math>\begin{align}

& i\hbar {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }=-i\hbar c{{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }^{+}}\beta \Psi  \\

& -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi =i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)}^{+}}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi  \right)}^{+}}\Psi  \\

\end{align}</math>

Und durch Subtraktion der Gleichungen:

:<math>\begin{align}

& i\hbar \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi  \right)=-i\hbar c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right) \\

& \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi  \right)=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right) \\

& \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)={{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right) \\

& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right)+c{{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)=0 \\

& \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right)=\rho  \\

& \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)=\frac{{{j}^{\mu }}}{c} \\

\end{align}</math>

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte<math>\rho =\left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}\ge 0</math>

(glücklicherweise positiv definit)

und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte <math>{{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)\quad \mu =1,2,3</math>

In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung

:<math>{{\partial }_{k}}{{j}^{k}}=0</math>

mit

:<math>\begin{align}

& {{j}^{0}}=c{{\Psi }^{+}}\Psi =c\sum\limits_{s=1}^{4}{{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}=c\rho } \\

& {{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)=c\sum\limits_{s,s\acute{\ }}^{{}}{{}}{{\Psi }_{S}}*{{\alpha }_{SS\acute{\ }}}^{\mu }{{\Psi }_{S\acute{\ }}}\quad \mu =1,2,3 \\

\end{align}</math>