Editing Die Dirac Gleichung

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=4|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>



Die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}

{{NumBlk|:|	

:<math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi  \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math>

:	|(1.29)|RawN=.}}

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

{{NumBlk|:|	

:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi  \right)\Psi </math>

:	|(1.30)|RawN=.}}

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

<u>Dirac: </u>Linearisierung als

{{NumBlk|:|	

:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math>

:	|(1.31)|RawN=.}}

mit <math>\underline{\alpha }=\left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\,,\,\beta </math> zu bestimmen.

Ansatz <math>\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0</math><ref>Kommutator <math>\left[ A,B \right]=AB-BA</math></ref>

Für <math>\phi =\underline{A}=0</math> soll<math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>.

Vielleicht liefert
{{NumBlk|:|	

:<math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math>

:	|(1.32)|RawN=.}}
die Lösung.

:<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u>

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
* <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> sollen hermitesch sein (<math>\hat{H}</math>soll nur reelle Eigenwerte haben):<math>{{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}</math>
* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta </math>unitär, ebenso <math>{{\alpha }_{i}}</math> unitär
* Aus <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math>
:analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta  \right)=0</math>
* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta </math>haben nur die Eigenwerte <math>\pm 1</math>
* Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> grade Dimension
* 2x2 Matrizen tun es nicht:



{| class="wikitable" border="1"
|+ Freie Parameter bei Matrizen!
 '''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
|-
| komplex||  2N²
|-
| Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math>|| N²(Diagonale)+N²-N=N²
|-
| <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math>|| <math>{{N}^{2}}-1</math> wegen der Zusatzbedingung <math>Tr\left( M \right)=0</math>
|}
'''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.'''

2x2 Matritzden M mit <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math> lassen sich als Linearkombinationen mit ''p=3'' reellen Parametern mit der Basis der {{FB|Pauli-Matrizen}}

{{NumBlk|:|	

:<math>{{\sigma }_{1}}=\left( \begin{matrix}

0 & 1  \\

1 & 0  \\

\end{matrix} \right)\quad {{\sigma }_{2}}=\left( \begin{matrix}

0 & -\mathfrak{i}   \\

\mathfrak{i}  & 0  \\

\end{matrix} \right)\quad {{\sigma }_{3}}=\left( \begin{matrix}

1 & 0  \\

0 & -1  \\

\end{matrix} \right)</math>

:	|(1.33)|RawN=.}}

darstellen, d.h,

:	<math>M=\underline{p}.\underline{\sigma }={{p}_{1}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{1}}+{{p}_{2}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{2}}+{{p}_{2}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{2}},\quad \underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}\quad ,\underline{p}=\underbrace{\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}} \right)}_{\in {{\mathbb{R}}^{3}}}</math>

{{NumBlk|:|	

:<math>{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}</math>

<ref><math>\underline{\underline{1}}=\left( \begin{matrix}

1 & 0  \\

0 & 1  \\

\end{matrix} \right)</math>ist die 2x2 Einheitsmatrix</ref>	|(1.34)|RawN=.}}

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

{{NumBlk|:|	

:<math>{{\alpha }_{i}}=\left( \begin{matrix}

{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}  \\

{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} & {\underline{\underline{0}}}  \\

\end{matrix} \right),\quad \beta =\left( \begin{matrix}

{\underline{\underline{1}}} & {\underline{\underline{0}}}  \\

{\underline{\underline{0}}} & -\underline{\underline{1}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

:	|(1.35)|RawN=.}}

Es gilt <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{2}=\left( \begin{matrix}

{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} & {\underline{\underline{0}}}  \\

{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2}  \\

\end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}</math>(4x4 Einheitsmatrix). <font color="#3399FF">'''''(CHECK 1.32)'''''</FONT>

Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der {{FB|Dirac-Gleichung}} (ohne Elektromagnetische Felder)

{{NumBlk|:|Dirac-Gleichung	

:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math>

:	|(1.36)|RawN=.}}

sind 4-komponentige Spinoren<math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix}

{{\Psi }_{1}}\left( x \right)  \\

{{\Psi }_{2}}\left( x \right)  \\

{{\Psi }_{3}}\left( x \right)  \\

{{\Psi }_{4}}\left( x \right)  \\

\end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math>
<noinclude>==Literatur==
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT>
<references /></noinclude>