Editing Affine Quadrik
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==== Satz über die affinen Hauptachsentransformationen von reellen Quadriken ==== | ==== Satz über die affinen Hauptachsentransformationen von reellen Quadriken ==== | ||
Sei | Sei | ||
<math>Q=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:{}^{t}{x}'{A}'{x}' \right\}</math> | |||
wobei <math>{A}'</math>eine symmetrische (n+1)-reihige Matrix bezeichnet. Es sei | wobei <math>{A}'</math>eine symmetrische (n+1)-reihige Matrix bezeichnet. Es sei | ||
<math>m:=Rang\text{ }A</math> | |||
, <math>{m}':=rang{A}'</math> | , <math>{m}':=rang{A}'</math> | ||
Dann gibt es eine Affinität <math>f:{{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{n}}</math>, so dass f(Q) beschrieben wird durch eine Gleichung in Hauptachsentransformation, d.h. von der Form | Dann gibt es eine Affinität <math>f:{{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{n}}</math>, so dass f(Q) beschrieben wird durch eine Gleichung in Hauptachsentransformation, d.h. von der Form | ||
<math>\left\{ \begin{matrix} | |||
y_{1}^{2}+...+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-...-y_{m}^{2}=0\text{ falls }m={m}' \\ | y_{1}^{2}+...+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-...-y_{m}^{2}=0\text{ falls }m={m}' \\ | ||
y_{1}^{2}+...+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-...-y_{m}^{2}=1\text{ falls }m+1={m}' \\ | y_{1}^{2}+...+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-...-y_{m}^{2}=1\text{ falls }m+1={m}' \\ |