Editing Quantentheoretischer Zugang (section)

===statistischer Operator===
Frage: Was kann man über <math>\rho</math> herausfinden?

kann 2 Eigenschaften
:<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math>

*hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
*<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left| {{c}_{n,b}} \right|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left| {{c}_{n,b}} \right|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)


wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften

:<math>\text{Tr}\left( \rho  \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad \mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\left( {{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha } \right)\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>


es existiert die '''Diagonaldarstellung'''

:<math>\rho ={{w}_{i}}\underbrace{\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}_{\text{Systemwellenfunktionen}}</math>


 
Bemerkungen

====Interpreatation====
Interpreation von \rho

in Diagonaldarstellung

:<math>\begin{align}
  & \left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\underbrace{\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\rho {{O}_{s}}\left| n \right\rangle }}_{\begin{smallmatrix}
 n\text{ vollst}\text{. System im} \\
 \text{Vielteilchenraum des }
 \\
 \text{Systems}
\end{smallmatrix}} \\
 & =\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\underbrace{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}}_{\rho }{{O}_{s}}\left| n \right\rangle }=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|\underbrace{\sum\limits_{n}{\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|}}_{1}}{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle  \\
 & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\underbrace{\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }_{\begin{smallmatrix}
 \text{Erwartungswert einer} \\
 \text{Gr }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ sse}\text{, bei der sich das System }
 \\
 \text{im Zustand }\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \text{ befindet}
\end{smallmatrix}}} 
\end{align}</math>

:<math>{{w}_{i}}</math>
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> realisiert wird interpretiert.


:<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle </math> klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.

:<math>\sum\limits_{i}{{}}</math> Mittelung über das besprochene Ensenble

Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit w<sub>i</sub> zum Meßergebnis bei.



====Zeitabhängigkeit====
w<sub>i</sub>= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle (t)</math> vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S



====Reine und gemischte Zustände====
{{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math>, alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0

Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!

:<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i0}} \right|</math>


|reiner Zustand}}
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
{{Def|quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen <math>w_i \neq 0</math>

z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich


:<math>{{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>

 |gemischter Zustand}}

====Eingenwertgleichung====

Lösung der Eigenwergleichung für \rho :

:<math>\begin{align}
  & \rho \left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle  \\
 & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \quad |\centerdot \left\langle  r \right| \\
 & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  r  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r 
\end{align}</math>
daraus folgt
#<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left| \left\langle  r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle  \right|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math>
# <math>\begin{align}
  & \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  r  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\
 & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\
 & \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1 
\end{align}</math>


Eigenwerte von <math>\rho</math> sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.