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Quantentheoretischer Zugang
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==VielteilchenzustĂ€nde== Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhĂ€ngen? * N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die EinzeichenzustĂ€nde verteilt â nur Quantenzahlen der EinteilchenzustĂ€nde verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem: :<math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer :<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n â in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|ProduktzustĂ€nde}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten ZustĂ€nder (Quantenmechanisch) :<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist '''VorlĂ€uftig''' : :<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math> aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte <math>{{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}</math> die Invarianz von MessgröĂen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein <math>{{X}_{i}}=\left( {{{\vec{r}}}_{i}},{{{\vec{s}}}_{i}} \right)</math> Das geht fĂŒr: <math>\Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right)</math> Beide Lösungen werden realisiert und als {{FB|symmetrisch}}(+) und {{FB|antisymmetrisch}}(-) bezeichnet: {{Def| ; Fermionen (-) : antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin ; Bosonen (-): symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940)) |Fermionen, Bosonen}} Das heiĂt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewĂ€hrleisten. (klassich: Grenzfall beider <math>T \to \infty</math>) {{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen''' :<math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math> vorlĂ€uftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math> ErfĂŒllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie''' Daher (Anti)symmetriesierung durch :<math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math> wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist. }} ((3 Teilchen als Ăbung)) '''Interpretation''': * In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) â Pauliprinzip * In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 â Bosekondensation) â völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen GröĂen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind. *allgemin AnsĂ€tzte fĂŒr N-Teilchen :<math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix} \text{Teilchenzahl} \\ \text{wg Normierung} \end{smallmatrix}}!}}\frac{1}{\underbrace{\sqrt{\prod\limits_{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}}_{\begin{smallmatrix} & \text{wenn nur die Orbitale }{{\varphi }_{k}} \\ & k<N\text{ besetzt weil mehrer} \\ & \text{Teilchen in einem Orbital sitzen} \\ & \text{so steht }{{\text{N}}_{k}}\text{ f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r die Zahl der} \\ & \text{Teilchen in dem Orbital} \\ \end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math> :<math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math> recht komplizierte Schreibweise: besser Diracschreibweise fĂŒr eine ĂŒbersichtliche Darstellung. jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen [[Bild:Fermi-Bose]] aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: :<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math> :<math>\left| N,n \right\rangle =?</math> ist gekennzeichnet durch # die Gesamtteilchenzahl '''N''' # wo man die Teilchen sitzen hat '''n''' :<math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix} {{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots & {{n}_{k}} & \cdots & {{n}_{N}} \\ {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ \end{matrix} \right\rangle =\left| \begin{matrix} {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ \end{matrix} \right\rangle </math> :<math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit :<math>{{N}_{k}}</math> Teilchen * Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math> * Bosonen <math>{{N}_{k}}=0,1,...,N</math> {{Beispiel| 2 Bosonen <math>\left| 1,1 \right\rangle oder\left| 0,2 \right\rangle oder\left| 2,0 \right\rangle </math> 2 Fermionen <math>\left| 1,1 \right\rangle </math> }} verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen WĂŒrfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen. Es gibt 2 Sorgen von Bosonen: ; {{FB|massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom MolekĂŒl, \alpha-Teilchen ; {{FB|masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern) man kann sich H anschauen: :<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> âmassive Bosonen :<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> âmasselose Bosonen {{Def| :<math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}} muss am Beispiel spĂ€ter klargemacht werden. ; massive Bosonen : <math>\mu \neq 0</math> ; masselose Bosonen: <math>\mu =0 </math>
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