Editing Quantentheoretischer Zugang (section)

==Großer Kasten, dichtliegende Zustände==
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
:<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

'''Ansatz''':

freie Teilchen im Kasten: <math>{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}</math>


:<math>\begin{align}
  & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\
 & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{  w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\
 & \Rightarrow {{k}_{i}}=\left( {{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}} \right):\,\,{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
\end{align}</math>

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
:<math>\begin{align}
  & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
 & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\
\end{align}</math>
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B <math>\sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...}</math>


:<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>




:<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math>
Summe über die k-Quantenzahlen werden also

So übersetzt:<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>