Editing Zwangsbedingungen und Zwangskräfte (section)

===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen===

Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine {{FB|Zwangsbedingung}} <math>\lambda</math> gilt:


<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>



{{Def|Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt dann <math>f=3N-\nu </math>|Freiheitsgrade}}
{{Beispiel|'''Beispiel''':Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand
[[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]]

<math>{{l}_{ij}}</math>
einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:


<math>\begin{align}
  & {{f}_{1}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0 \\
 & {{f}_{2}}=|{{{\vec{r}}}_{2}}-{{{\vec{r}}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0 \\
 & {{f}_{3}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{3}}|-{{l}_{13}}=0 \\
\end{align}</math>

Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt <math>f=3N-\nu =9-3=6</math>}}

{| class="float-right wikitable"
|+ Starrer Körper aus N Teilchen
|- style="background: #DDFFDD;"
! N
! Hinzukommende Einschränkungen
! Zwangsbedingungen (<math>\nu </math>)
! Freiheitsgrade <math>f=3N-\nu </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"| 1
| 0
| 0
| 3
|-
! style="background: #FFDDDD;"| 2
| 1
| 1
| 5
|-
! style="background: #FFDDDD;"| 3
| 2
| 3
| 6
|-
! style="background: #FFDDDD;"| 4
| 3
| 6
| 6
|-
! style="background: #FFDDDD;"| 5
| 3
| 9
| 6
|-
! style="background: #FFDDDD;"|...
| ..
| ..
| ..
|-
! style="background: #FFDDDD;"|<math>N \ge 4</math>
| 3
| 3N-6
| 6
|}

Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:

<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math>
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen.
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint.
Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. <u>Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.</u>


Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle
<math>\lambda =1,...,\nu </math>
die Zwangsbedingungen ein '''linear unabhängiges Gleichungssystem''' bilden, also
<math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math>
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für <math>N \ge 3</math>.
Nun sucht man eine Lösung für die '''Bewegungsgleichung'''. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
. Alle Bahnen
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
müssen nun jedoch die
<math>\nu </math>
unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen:
<math>{{f}_{\lambda  }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>


Das {{FB|totale Differenzial}} ( längs der Bahn
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
) läßt sich schreiben:


<math>\frac{d{{f}_{\lambda }}}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>


In '''differenzieller Schreibweise''' gewinnen wir das {{FB|vollständige Differential}}:


<math>d{{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>