Editing Poisson- Gleichung und Greensche Funktion (section)

== Greensche Funktion der Poisson- Gleichung ==


:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
Invertierung
:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Mit dem {{FB|Greenschen Operator}} <math>\hat{G}</math>:

Eine Fourier- Transformation von
:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math> liefert <math>-{{k}^{2}}\tilde{\Phi }=-\frac{{\tilde{\rho }}}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>

Man kann schreiben:

:<math>\begin{align}
& \tilde{\Phi }=\tilde{\hat{G}}\tilde{\rho } \\
& \tilde{\hat{G}}:=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Die einfache Fourier- Transformierte Form von
:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>,
 nur dass der Fourier- transformierte {{FB|Greens-Operator}} angegeben werden kann.

Die Rücktransformation löst dann die {{FB|Poisson-Gleichung}}:

:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Es gilt:

:<math>{{\Delta }_{r}}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>

Insbesondere bei speziellen {{FB|Randbedingungen}}

:<math>\begin{matrix}
\lim   \\
\bar{r}\to \infty   \\
\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>

ist die {{FB|Greensfunktion}} dann:

:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>

Denn

:<math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Für eine beliebige {{FB|Ladungsverteilung}} <math>\rho </math> ist also die Lösung der Poissongleichung

:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math>

wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
:<math>\begin{matrix}
\lim   \\
\bar{r}\to \infty   \\
\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.