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Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
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====Bilder==== Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt: :<math>\begin{align} & \left| \Psi \right\rangle \to \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =U\left| \Psi \right\rangle \\ & \hat{F}\to \hat{F}\acute{\ }=U\hat{F}{{U}^{+}} \\ \end{align}</math> Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math>, also keine explizite Zeitabhängigkeit! Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild! =====Schrödingerbild:===== Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math> zeitunabhängig Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> zeitunabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle </math> zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben): :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> : Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! Im <math>{{R}^{2}}</math> entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math> einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt: :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> =====Das Heisenbergbild===== :<math>\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}} \\ & {{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0)={{{\hat{F}}}_{H}}(t) \\ \end{align}</math> In diesem Bild sind die Operatoren <math>{{\hat{F}}_{H}}(t)</math> zeitabhängig und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> zeitabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle ={{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> zeitunabhängig: Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> : Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). Aus :<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> folgt: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\hat{H}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}+{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H} \right){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> Also: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> (Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) Somit folgt für das Heisenbergbild: :<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> Insbesondere gilt: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{H}}=0</math> also die bildunabhängige Darstellung :<math>{{\hat{H}}_{H}}={{\hat{H}}_{S}}=\hat{H}</math> Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig. =====Wechselwirkungsbild===== Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>. Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild: :<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math> Somit gilt wieder die Relation :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math> Also: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0</math> Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian <math>{{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}</math> bildunabhängig. Aber: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0</math> im Allgemeinen :<math>\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}</math> Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder. :<math>\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\ & wegen \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}</math> Aber: :<math>{{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> :<math>\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}</math> :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math> Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian: :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)</math> Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. Operatoren <math>{{\hat{F}}_{W}}(t)</math> zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math> zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>.
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