Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt

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Motivation: ( < Eintreffen des Feldes ) bestimmen, hier formulieren wir das so allgemein, dass später Theorie auch für eine Abfolge von 's, also ) bei eingeschaltetem Feld gilt.

Unschärfemaß des statistischen Operators

Problem sei Satz von Observablen (z.B N,E eines Gases)

  • andere Infos sollen nicht gemessen werden wenn wir festlegen, so muss das so geschehn, dass nicht mehr Info als festgelegt wird.
  • nur sicherzustellen, dass wir nicht mehr Info fordern als zustetht bilden wir Unschärfemaß und soll angeben wie weit wir von reinem Zustand entfernt sind
  • später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung

( bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um zu finden

  • → Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus!

Definition des Unschäfremaßes

(Funktional von (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946)

Ist das sinnvoll?

  1. sollte positiv sein, um Maß für Unschärfe zu ergeben
  2. solte 0 sein für einen reinen Zustand
  3. sollte sein für einen komplett unbestimmten Zustand

ist zu zeigen:'

1)  
als Eigenwertgleichung für
2) reiner Zustand →
mit
ist der reine Zustand

Eigenwertproblem

erfüllt für

3) völlige Unbestimmtheit
betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll wie z.B in richtigem Kasten)

die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel)

für folgt

alle Grenywerte sind sinnvoll, damit

ein sinnvolles Unschärfemaß

ist.

Jetzt können wir

nehmen um

zu bestimmen.

Der generalisierte statistische Operator

Wollen nun aus

sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen

(Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft:

→ wir maximieren also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von “vorurteilsfrei“.


Nebenbedingung:

z.B E, N

Ergebnis bevor es bewiesen wird:


Der statistische Operator R der alle Forderungen:

erfüllt heißt generalisierter kanonischer statistischer Operator (GKSO)


Normierungsfaktor und wird Zustandssumme genannt


es tauchen Lagrangefaktoren auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern noch unbestimmt: Beispiel

Bedeutung der Zustandssumme

bestimmen die Messgrößen () aus


liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von die Dichtematrixgleichungen gelöst werden.

Beweis für GKSO

(in 3 Schritten) a) Unschärfemaß für R ableiten:




Idee des Beweises: wir nehmen einen beliebigen statistischen Operator und zeigen

b)

c)



spiegels später wieder was größer ist

nach b)

mit

folgt


mit folgt





R hat offensichtlich das maximale unschärfemaß f die vorgegebenen Nebenbedingungen

Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung

maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene

ist



Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene wird mit

definiert.

Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen (Gleiverteilung hatte größtes

).


Ziel der Entropiedefinition ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt

und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc);

also Zustandsgleichungen aus Z berechnen.

z.B.


Gibbs-Fundamentalrelation

dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet:

Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von

Beweis gleich


Bmerkung zur Gibbsgleichung

  • legt die Variblen fest
  • legt verallgemeinter Kräfte fest:
    • (z.B. )
    • physikalische Interpretation bei E-Messung
  • Kraft.Länge/(Fäche.Länge)
  • Vorzeichen um zu haben
  • E im Kasten ~ BILD kleiner
  • Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung

Vergleich von

ergibt

Lagrangefaktoren 
Zustandsgleichung 


 Gibbsgleichung legt die Zustandsgleichungen fest und ist damit genauso fundamental wie die Maxwellgleichung der Elektrodynamik
z.B: 

Beweis der Gibbsgleichung


mit Z arbeiten:


Das vollständige Differential von Z ist:



eingesetzt in dS:


Der Zweite Teil wird zu

→ergibt die Gibbsrelation