Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

$\begin{array}{cc}& i\hslash \dot{\Psi }(\overline{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})}^2\Psi (\overline{r},t)+V\Psi (\overline{r},t)\\ & V=e\Phi \\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& i\hslash \dot{\Psi }(\overline{r},t)=\frac{1}{2m}(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})\Psi (\overline{r},t)+V\Psi (\overline{r},t)\\ & =\frac{1}{2m}[-{\hslash }^2\Delta \Psi +i\hslash e\mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\Psi \right)+i\hslash e\overline{A}\left(\mathrm{\nabla }\Psi \right)+e^2{A}^2\Psi ]+V\Psi (\overline{r},t)\\ \end{array}$

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

$\overline{A}(\overline{r},t)$

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

$i\hslash \dot{\Psi }\ast (\overline{r},t)=\frac{1}{2m}[-{\hslash }^2\Delta \Psi \ast -i\hslash e\mathrm{\nabla }(\overline{A}\Psi \ast )-i\hslash e\overline{A}(\mathrm{\nabla }\Psi \ast )+e^2{A}^2\Psi \ast ]+V\Psi \ast (\overline{r},t)$

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

$\begin{array}{cc}& i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}(\Psi (\overline{r},t)\Psi \ast (\overline{r},t))=\Psi \ast (\overline{r},t)i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\overline{r},t)+\Psi (\overline{r},t)i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\Psi \ast (\overline{r},t)\\ & i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2=i\hslash (\Psi \ast (\overline{r},t)\dot{\Psi }(\overline{r},t)+\dot{\Psi }\ast (\overline{r},t)\Psi (\overline{r},t))=\Psi \ast \hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi )\ast \\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2=\frac{-{\hslash }^2}{2m}(\Psi \ast \Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi \ast )+\frac{e^2}{2m}[\Psi \ast {\overline{A}}^2\Psi -\Psi {\overline{A}}^2\Psi \ast ]+\Psi \ast V\Psi -\Psi V\Psi \ast \\ & +\frac{i\hslash e}{2m}(\Psi \ast \mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\Psi \right)+\overline{A}\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast +\Psi \mathrm{\nabla }(\overline{A}\Psi \ast )+\overline{A}\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi )\\ & \Psi \ast {\overline{A}}^2\Psi -\Psi {\overline{A}}^2\Psi \ast =0\\ & \Psi \ast V\Psi -\Psi V\Psi \ast =0\\ & \Psi \ast \mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\Psi \right)+\overline{A}\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast =\Psi \mathrm{\nabla }(\overline{A}\Psi \ast )+\overline{A}\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi =\mathrm{\nabla }(\Psi \overline{A}\Psi \ast )\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2=\frac{-{\hslash }^2}{2m}(\Psi \ast \Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi \ast )+\frac{i\hslash e}{m}\mathrm{\nabla }(\Psi \overline{A}\Psi \ast )\\ & \Psi \ast \Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi \ast =\mathrm{\nabla }(\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi -\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast )-(\mathrm{\nabla }\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi -\mathrm{\nabla }\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast )\\ & (\mathrm{\nabla }\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi -\mathrm{\nabla }\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast )=0\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\nabla }(\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi -\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast )+\frac{i\hslash e}{m}\mathrm{\nabla }(\Psi \overline{A}\Psi \ast )\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2=\mathrm{\nabla }[\frac{-{\hslash }^2}{2m}(\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi -\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast )+\frac{i\hslash e}{m}(\Psi \overline{A}\Psi \ast )]\\ \end{array}$

Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld

$\frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:

$\begin{array}{cc}& \overline{j}=\frac{\hslash }{2mi}(\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi -\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast )-\frac{e}{m}(\Psi \overline{A}\Psi \ast )\\ & =\frac{1}{2m}\{\Psi \ast (\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})\Psi +\Psi (-\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})\Psi \ast \}\\ \end{array}$

Denn: Wenn die Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! Dabei bezeichnet man

$\overline{j}=\frac{\hslash }{2mi}(\Psi \ast \mathrm{\nabla }\Psi -\Psi \mathrm{\nabla }\Psi \ast )$ als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm $-\frac{e}{m}(\Psi \overline{A}\Psi \ast )$ ergänzt wird

$\overline{j}=\frac{1}{2m}\{\Psi \ast {\hat{\overline{P}}}_{kin}\Psi +\Psi \left({\hat{\overline{P}}}_{kin}\Psi \right)\ast \}$

Mit dem kinetischen Impulsoperator

${\hat{\overline{P}}}_{kin}:=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A}$

Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! Bemerkungen

1. Neben dem kanonischen Impulsoperator: ${\hat{\overline{P}}}_{}:=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }$, wobei klassisch $p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$ haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator ${\hat{\overline{P}}}_{kin}:=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A}$zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator $\hat{\overline{v}}:=\frac{{\hat{\overline{P}}}_{kin}}{m}$zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator $\hat{\overline{v}}:=\frac{{\hat{\overline{P}}}_{kin}}{m}$NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.

Also: ${\hat{\overline{P}}}_{kin}=m\hat{\overline{v}}$und $\hat{p}\ne m\hat{\overline{v}}$

1. Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung

$\frac{\partial }{\partial t}{|\Psi (\overline{r},t)|}^2+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$mit $\overline{j}=\frac{1}{2}\{\Psi \ast \hat{\overline{v}}\Psi +\Psi \left(\hat{\overline{v}}\Psi \right)\ast \}$

Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:

$\dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$mit $\overline{j}=\rho \cdot \overline{v}$

Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form $\overline{j}=\mathrm{Re}\{\Psi \ast \hat{\overline{v}}\Psi \}$wählen, da hier $\rho \cdot \hat{\overline{v}}$oder $\hat{\overline{v}}\rho$nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)

1. In $\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\hat{\overline{p}}-e\overline{A}(\hat{\overline{r}},t))}^2=\frac{1}{2m}({\hat{\overline{p}}}^2-e\hat{\overline{p}}\overline{A}-e\overline{A}\hat{\overline{p}}+e^2{A}^2)$ ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!

Nur in der Coulomb- Eichung $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0$gilt:

$\begin{array}{cc}& (\hat{\overline{p}}\overline{A}+\overline{A}\hat{\overline{p}})\Psi =\frac{\hslash }{i}[\mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\Psi \right)+\overline{A}\left(\mathrm{\nabla }\Psi \right)]=\frac{\hslash }{i}[(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A})\Psi +2\overline{A}\left(\mathrm{\nabla }\Psi \right)]\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0\\ \end{array}$

Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:

$(\hat{\overline{p}}\overline{A}+\overline{A}\hat{\overline{p}})\Psi =2\overline{A}\hat{\overline{p}}\Psi$

Also in diesem Fall:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\hat{\overline{p}}-e\overline{A}(\hat{\overline{r}},t))}^2=\frac{1}{2m}({\hat{\overline{p}}}^2-2e\overline{A}\hat{\overline{p}}+e^2{A}^2)$

Merke: Die Coulombeichung bringt $\overline{A}$und $\hat{p}$zum Vertauschen!

1. Im Gaußschen Maßsystem gilt:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\hat{\overline{p}}-\frac{e}{c}\overline{A})}^2$