Die Hamiltonschen Gleichungen

Aus PhysikWiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die

gefunden werden.

Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für

aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:

Eine Variable:

Differenziale:


wegen


Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für



Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung



Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.

Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)

Mehrere Variablen



Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)



Der 2f- dimensionale Raum



heißt Phasenraum.

Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

  • wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
  • und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V

Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):

mit


Dann nämlich ist


 (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der 
.


Somit:



beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!

Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz

folgt dann Gesamtenergieerhaltung.

Dies läßt sich leicht nachweisen:


Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:


Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit

.


Aus

folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

  1. Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
  1. Transformation des Radiusvektors
  1. Aufstellung der Lagrangegleichung:
  1. Bestimmung der generalisierten Impulse:
  1. Anschließend Legendre Trafo:
  1. Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:


Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen
  1. q1=3, q2=Phi, q3 = z
  1. Generalisierte Impulse:
                                                                                            Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
  1. Aufstellung der Legendretrafo:
  1. Kanonische Gleichungen:

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):

F(Zentrifugal)=

,
die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:



Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.


sind zyklische Variablen


oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Das System ist skleronom wegen

,
also folgt Energieerhaltung:  E=H=T+V



Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:


(bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:



Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung


Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:



die kanonischen konjugierten Impulse lauten:



Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich


als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).


ist kanonischer Impuls

… weitere Daten zur Seite „Die Hamiltonschen Gleichungen
InhaltstypDieses Attribut ist ein Spezialattribut in diesem Wiki.
Script +