Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

$\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}}\right\rangle$

dabei ist $a_{i}$ der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein:

Permutationsoperator: ${{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right):=\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{j}},...,{{\bar {x}}_{i}},....\right)$

{{#set:Definition=Permutationsoperator|Index=Permutationsoperator}}

Ununterscheidbarkeit verlangt:

${\begin{aligned}&{{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right):=\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{j}},...,{{\bar {x}}_{i}},....\right)={{e}^{i\nu }}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right)\\&{{\hat {P}}_{ij}}^{2}={\bar {\bar {1}}}\\\end{aligned}}$

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit ${{\hat {P}}_{ij}}$ vertauschen, insbesondere

$\left[{\hat {H}},{{\hat {P}}_{ij}}\right]=0\Rightarrow {{\hat {P}}_{ij}}$ ist Erhaltungsgröße{{#set:Fachbegriff=Erhaltungsgröße|Index=Erhaltungsgröße}}!

Es gilt:

${{\hat {P}}_{ij}}^{2}={\bar {\bar {1}}}$

Somit folgt:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{\hat {P}}_{ij}}\Psi ={{\lambda }_{ij}}\Psi \\&{{\lambda }_{ij}}^{2}=1\\\end{aligned}}$

Wichtig:

${{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{2}},{{\bar {x}}_{1}}\right)\right|}^{2}}$

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar! Also:

${\begin{aligned}&{{\left|{{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{2}},{{\bar {x}}_{1}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}\Rightarrow {{\left|{{\lambda }_{ij}}\right|}^{2}}=1\\&\Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1\\\end{aligned}}$

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte!

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System: Sei $\left|a,b\right\rangle ={{\left|a\right\rangle }_{1}}{{\left|b\right\rangle }_{2}}\in H\times H$ Dann ist ${{\left|a,b\right\rangle }_{s}}={\frac {1}{2}}\left(1+{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle$ ein Eigenzustand von ${{\hat {P}}_{12}}$ zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand! denn: ${{\hat {P}}_{12}}{{\left|a,b\right\rangle }_{s}}={{\hat {P}}_{12}}{\frac {1}{2}}\left(1+{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}+{{\hat {P}}_{12}}^{2}\right)\left|a,b\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}+1\right)\left|a,b\right\rangle ={{\left|a,b\right\rangle }_{s}}$ und ${{\left|a,b\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left(1-{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle$ ist der antisymmetrische Zustand von ${{\hat {P}}_{12}}$z zum Eigenwert -1, denn: ${{\hat {P}}_{12}}{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}-1\right)\left|a,b\right\rangle =-{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}$

N- Teilchensystem

Alle ${{\hat {P}}_{\left(ij\right)}}$ kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch (${{\lambda }_{ij}}=+1$)oder antisymmetrisch ${{\lambda }_{ij}}=-1$ sind!

Reduktion des Hilbertraumes $H\times H\times ...\times H$(N- mal) auf einen symmetrischen Hilbertraumteilraum{{#set:Fachbegriff=symmetrischen Hilbertraumteilraum|Index=symmetrischen Hilbertraumteilraum}} (also ${{H}_{N}}^{+}$) und einen antisymmetrischen Himbertteilraum{{#set:Fachbegriff=antisymmetrischen Himbertteilraum|Index=antisymmetrischen Himbertteilraum}} (also ${{H}_{N}}^{-}$) erlaubter Zustände!

Bosonen

wie Photonen, Phononen oder $^{4}{{H}_{e}}$ →Bose-Einstein-Statistik{{#set:Fachbegriff=Bose-Einstein-Statistik|Index=Bose-Einstein-Statistik}}

Fermionen

wie Elektronen, Proton, Neutron, $^{3}{{H}_{e}}$ →Fermi-Dirac-Statistik{{#set:Fachbegriff=Fermi-Dirac-Statistik|Index=Fermi-Dirac-Statistik}}

Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie!

Bosonen- Hilbertraum{{#set:Fachbegriff=Bosonen- Hilbertraum|Index=Bosonen- Hilbertraum}}:

${{H}_{N}}^{+}={\hat {S}}{{H}_{N}}={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{\rho =1}^{N!}{}{{\hat {P}}_{\left(\rho \right)}}{{H}_{N}}$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$- te Permutation von (123...N)

${\hat {S}}$ ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator{{#set:Fachbegriff=Symmetrisierungsoperator|Index=Symmetrisierungsoperator}}

${{\hat {S}}^{2}}={\hat {S}}$ → ${\hat {S}}$ ist ein Projektor{{#set:Fachbegriff=Projektor|Index=Projektor}} er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Fermionen- Hilbertraum{{#set:Fachbegriff=Fermionen- Hilbertraum|Index=Fermionen- Hilbertraum}}:

${{H}_{N}}^{-}={\hat {A}}{{H}_{N}}={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{\rho =1}^{N!}{}{{\left(-1\right)}^{\rho }}{{\hat {P}}_{\left(\rho \right)}}{{H}_{N}}$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$- te Permutation von (123...N)

${\hat {A}}$ ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator{{#set:Fachbegriff=Antisymmetrisierungsoperator|Index=Antisymmetrisierungsoperator}}

${{\hat {A}}^{2}}={\hat {A}}$→${\hat {A}}$ ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Pauli- Prinzip{{#set:Fachbegriff=Pauli- Prinzip|Index=Pauli- Prinzip}}

Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden!

Hilbertraum variabler Teilchenzahl

(großkanonisches Ensemble)

$H=\sum \limits _{N=0}^{\infty }{}{{H}_{N}}^{+}$

• Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum!

$H=\sum \limits _{N=0}^{\infty }{}{{H}_{N}}^{+}$ ist der sogenannte Fock-Raum{{#set:Fachbegriff=Fock-Raum|Index=Fock-Raum}}!

Ideales Gas (WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung{{#set:Fachbegriff=Besetzungszahldarstellung|Index=Besetzungszahldarstellung}}:

$\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle \to \left|{{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}}\right\rangle$

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a_i

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes $\left|j\right\rangle$ durch $\left|{{N}_{j}}\right\rangle$ charakterisiert (inkl. Spin!)

Bosonen:

${{N}_{j}}=0,1,2,...$

Fermionen

${{N}_{j}}=0,1$

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators{{#set:Fachbegriff=Besetzungszahloperators|Index=Besetzungszahloperators}} ${{\hat {N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}$