Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Räumliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}},...,{{\bar {r}}_{N}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37efc821a9beb293bdf5bcef318c8a839d904afa)
Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:
![{\displaystyle {{h}^{s}}:{{\bar {r}}_{i}}{{\to }_{}}{{\bar {r}}_{i}}+s{{\bar {e}}_{x}}\quad i=1,..,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d1def4efb727460922d3a8dbfb0ac968c3839e)
Der Parameter s ist dabei beliebig.
Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&L({{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}}),{{\dot {\bar {r}}}_{i}})={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}}+s{{\bar {e}}_{x}},...,{{\bar {r}}_{N}}+s{{\bar {e}}_{x}})}=L({{\bar {r}}_{i}},{{\dot {\bar {r}}}_{i}})\ Forderung!\\&{\frac {dL}{ds}}=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\left({{\nabla }_{ri}}\cdot {{\bar {e}}_{x}}\right)}V=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}V=0\quad Forderung!\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0274bbaaa105f6012b2e01ed7a6d8e6dd1a2c821)
Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!
Für die Transformation gilt:
![{\displaystyle {{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {r}}_{i}}+s{{\bar {e}}_{x}}\quad i=1,..,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e0113824e0925f70963318a277a83e4fa7e0a6)
![{\displaystyle {{h}^{s=0}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {r}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7611590de83db3fc4bf4f6a4ea9030e4ef4956)
(Identität)
![{\displaystyle {\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {e}}_{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953bbe23f6747965ce6991cfcabe4f2ce54a5ed2)
Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:
![{\displaystyle I=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{{\dot {r}}i}}L{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}}}\cdot {{\bar {e}}_{x}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {x}}_{i}}}={{P}_{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86157aed7ebe2573174dbd5f134c7383427e64c9)
Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.
Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.
Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:
Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:
Nun gilt die Transformation:
mit ![{\displaystyle {{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf1c3797f46a315b34554bafe13e70dd5e05bef)
als Schwerpunktskoordinate und
![{\displaystyle \Delta {{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8529e78a7e9dc6a5576d102d8c08b4cc981b778)
als Relativpositionen.
Es folgt:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1076655ce202fc7e8752d2929bbf6ef5c129c0)
wegen ![{\displaystyle {{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{k}^{}{}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{{\bar {r}}_{i}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec154f59df2be70c3d2cc40b757f5dca34187433)
Invarianz Erhaltungssatz
![{\displaystyle {{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb63c44973a6f7859bc1c6875f37c1ab142aec1)
äquivalent zum Erhaltungssatz
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d0c5230b3f6274b9bd64395f4035032bb500b1)
Allgemein heißt
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}={{p}_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5333870eea57f4a63cb0fabeffac2f9b30c253)
der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.
Falls gilt dass
,
wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .
Hier:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}(T-V)={\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}\left(\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}\right)=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}}\\&mit\quad {\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}\\&{{p}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{{\bar {e}}_{x}}}={{P}_{x}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8c307c436d511efbb74730a7547bdf075a4423)
Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte[edit | edit source]
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}-{\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}}\sum \limits _{i}{{\bar {X}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8aca0e113d4182a5cdd20fc89a45fbd9164d86)
Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}-{\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}}\sum \limits _{i}{{\bar {X}}_{i}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c613a0c257715dc432fe3528a27a1485646c82)
Invarianz sagt
![{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}={\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b846784db320b54677ef104e747878845d373a)
Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)
![{\displaystyle {{Q}_{1}}=0\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}V({{\bar {r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}},...,{{\bar {r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}})=\sum \limits _{i}{{\nabla }_{ri}}V{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}\left({{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}\right)={{\bar {e}}_{x}}\sum \limits _{i}{{\nabla }_{ri}}V=-{{\bar {e}}_{x}}\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8485d30cc9698aabf9544a80b6dad112152249a9)
Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)
Das Potenzial hänge nicht von x ab:
![{\displaystyle {{\frac {\partial L}{\partial x}}_{}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54943091703d9fd5f2c4e88b6a69aee1d939bd45)
Daraus folgt:
![{\displaystyle {{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}_{}}=m{\dot {x}}={{P}_{x}}=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d710b153468255ec77daf2f9b38e576eb39f7e9)
In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:
wegen ![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\bar {r}}}}}={{\nabla }_{\dot {r}}}L\\&{{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}_{}}={{\bar {e}}_{x}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe0754d1675866f523954629776c1396b387c73)
Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung[edit | edit source]
![{\displaystyle V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}})=V({{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5c296d9b0156f43340b5c834e1b3f2c506de07)
Das Potenzial kann auch anisotrop sein.
Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.
Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&L({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},{{\dot {\bar {r}}}_{1}},{{\dot {\bar {r}}}_{2}})={\frac {{m}_{1}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{1}}^{2}+{\frac {{m}_{2}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{2}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}})\\&L({{h}^{s}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right),{{h}^{s}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right),{{\dot {\bar {r}}}_{1}},{{\dot {\bar {r}}}_{2}})={\frac {{m}_{1}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{1}}^{2}+{\frac {{m}_{2}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{2}}^{2}-V(\left({{\bar {r}}_{1}}-s{{\bar {e}}_{i}}\right)-\left({{\bar {r}}_{2}}-s{{\bar {e}}_{i}}\right))=L({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},{{\dot {\bar {r}}}_{1}},{{\dot {\bar {r}}}_{2}})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d43cdc8f3e53db40b27ff72fa262114d310ed2)
für alle i = x,y,z
Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{I}_{x}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{x}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{x}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {x}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {x}}_{2}}={{P}_{x}}=const\\&{{I}_{y}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{y}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{y}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {y}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {y}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {y}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {y}}_{2}}={{P}_{y}}=const\\&{{I}_{z}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{z}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{z}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {z}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {z}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {z}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {z}}_{2}}={{P}_{z}}=const\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73544c02c6d556a7b1dd4802c89f3f7952178704)
Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:
![{\displaystyle M{\dot {\bar {R}}}={{\bar {P}}_{}}=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dfcd21a8020e06d81c36ea6204b74d83ef3d1c)
Mit den Schwerpunktskoordinaten
![{\displaystyle {\bar {R}}:={\frac {1}{M}}\sum \limits _{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{\bar {r}}_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1231e4dcf1d6622bf087be35c10483c76fe9e3cb)
Und der Gesamtmasse
![{\displaystyle M:=\sum \limits _{i=1}^{2}{{m}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291df6d358d7d3f5fcc2aeabde67771997c3575a)