Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen
Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel
![{\displaystyle \phi =s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354d9612dee1d6dd80c4998cb39574f4b6c7faa8)
um die z- Achse.
An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:
![{\displaystyle {{h}^{s}}:{{\bar {r}}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\to {{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}=(x{{\acute {\ }}_{i}},y{{\acute {\ }}_{i}},z{{\acute {\ }}_{i}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28af3161125240258da47d579ddc75eae8cfd085)
Dabei gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{i}}{\acute {\ }}={{x}_{i}}\cos s+{{y}_{i}}\sin s\\&{{y}_{i}}{\acute {\ }}={{y}_{i}}\cos s-{{x}_{i}}\sin s\\&{{z}_{i}}{\acute {\ }}={{z}_{i}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decf612580962947668dfb1b7ab3e49876ce5d73)
Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:
Betrachten wir infinitesimale Transformationen (Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
![{\displaystyle \delta \phi =\delta s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6146606d7ccad041fe52e0236f2b47f956a16849)
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}_{i}}{\acute {\ }}\\{{y}_{i}}{\acute {\ }}\\{{z}_{i}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\cos s&\sin s&0\\-\sin s&\cos s&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)\approx \left[\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0&s&0\\-s&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)\right]\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e27594719d19533f494e1faef6ec1fd3b476cb6)
Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben
Mit ![{\displaystyle {{\bar {\bar {J}}}_{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee8636641cad5415a0f9f5e08cfee1b5a2b63ee)
als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.
Somit folgt:
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}_{i}}{\acute {\ }}\\{{y}_{i}}{\acute {\ }}\\{{z}_{i}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)+s\left({\begin{matrix}{{y}_{i}}\\-{{x}_{i}}\\0\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)+s\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178cffe1cc6623e89967b377bf6c8e271ef05bb5)
Formal schreibt man:
mit ![{\displaystyle {{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caa930a22666bc93689d7b521859b48a9132470)
Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion[edit | edit source]
![{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abf9e4645820d713a03b5628ada4c565995d618)
ist rotationsinvariant, da nur von
![{\displaystyle \left|{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458ddae09d195973159f807fcef3acd5e2b99c16)
abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.
(Drehungen sind orthogonale Transformationen).
![{\displaystyle {{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\left({{\nabla }_{ri{\acute {\ }}}}V\right){{\left({\frac {d{{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}}{ds}}\right)}_{s=0}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\bar {F}}_{i}}({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744913c1666229ebdeb782b58ea712b82a58cfba)
wegen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({{\nabla }_{ri{\acute {\ }}}}V\right)=-{{\bar {F}}_{i}}\\&{{\left({\frac {d{{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}}{ds}}\right)}_{s=0}}={{\left({\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}\right)}_{s=0}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e63a83d7bb4649a1e307ed9717cfa57e5839bf6)
Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:
Mit ![{\displaystyle \sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23881c943b06ae3a3167f3bb1a7ca1d1117b0042)
als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:
![{\displaystyle -{{\bar {e}}_{z}}\cdot \sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}={{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b789bd12a126b628909d2537060183ac13e6f560)
Interpretation nach dem Noetherschen Theorem
![{\displaystyle I({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}})=\sum \limits _{i=1}^{N}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{i}}}}\cdot {{\left({\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}\right)}_{s=0}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\cdot \left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}\sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}{\bar {l}}=-{{l}_{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1587b11469d36a8b37df96971d21fcf290ba62e)
Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung
Andere Betrachtungsweise
Wähle
![{\displaystyle {{q}_{1}}=\phi =s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3680bfddc788bbb2aa16e00cac3216682a259b27)
als verallgemeinerte Koordinate
Trafo:
mit ![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf7050911ac7639900bbfcbbdcedff0ad813b06)
Für infinitesimale Drehung um z-Achse.
Invarianz Erhaltungssätze
![{\displaystyle {{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb63c44973a6f7859bc1c6875f37c1ab142aec1)
äquivalent zum Erhaltungssatz
![{\displaystyle {{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e36182996f6d53132068e79dab3ffd3bd754386)
Der Winkel ist also eine zyklische Variable.
Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
,
so ergibt sich:
wegen ![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}\ da{{\ }_{}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{k}{{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f09d67b9746eff3662f552a8b08e924aed00ce2)
Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.
Nebenbedingung:
Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
.
Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz
Beispiel:
N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:
mit ![{\displaystyle {{r}_{ij}}=\left|{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a081a7d84e22fb756d79a6806232c6bad5754411)
Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:
![{\displaystyle {\frac {\partial V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)}{\partial \phi }}=\sum \limits _{i,j}{{\frac {\partial V}{\partial {{r}_{ij}}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \phi }}{{r}_{ij}}=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9868f33223006be96dc8e59188322ab9b7a026d)
für beliebige Achsen, da
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{r}_{ij}}={\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\right]}^{1/2}}={\frac {1}{{r}_{ij}}}\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right){\frac {\partial }{\partial \phi }}\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)={\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}-{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{j}}\right)\\&{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{k}}\\&\Rightarrow {\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}-{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{j}}\right)={\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\times {{\bar {e}}_{k}}\right]={\frac {1}{{r}_{ij}}}{{\bar {e}}_{k}}\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\times \left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\right]=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2842c55ff4fd48fb69a3fbffe424b6d22f5bd9)
Also ist der resultierende Drehimpuls
![{\displaystyle {\bar {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e56477d04d12b6d891c84c9502ac8ef14580f0)
eine Erhaltungsgröße
Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse
Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:
![{\displaystyle {{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})=({\bar {\bar {1}}}-s{{\bar {\bar {J}}}_{z}}){{\bar {r}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9505d4c20f8ee4be1bdf15890c2dcad76b01f92)
Mit der Erzeugenden
![{\displaystyle {{\bar {\bar {J}}}_{z}}=\left({\begin{matrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23be18b83fa924811960797bc69436c3d3c0a875)
Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
![{\displaystyle \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
gilt:
![{\displaystyle {{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{\bar {\bar {R}}}_{z}}(\phi ){{\bar {r}}_{i}}=\left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right){{\bar {r}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df65aa3da8ff46030301735c52254b177f2d0e77)
Es gilt:
![{\displaystyle {{\bar {\bar {R}}}_{z}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba675c37eb96a5c30b3f42ef3d6bb9ab97a1a4d7)
mit Definition
![{\displaystyle \exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right):={\bar {\bar {1}}}+\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)+{\frac {1}{2}}{{\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)}^{2}}+...+{\frac {1}{k!}}{{\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)}^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042a4af070aa55781149cede00a930687a4b3ab0)
Beweis:
Für
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {\bar {M}}}=\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\Rightarrow {{\bar {\bar {M}}}^{2}}=-{\bar {\bar {1}}},{{\bar {\bar {M}}}^{3}}=-{\bar {\bar {M}}},{{\bar {\bar {M}}}^{4}}={\bar {\bar {1}}}\\&{{\bar {\bar {M}}}^{2n}}={{\left(-1\right)}^{n}}{\bar {\bar {1}}}\\&{{\bar {\bar {M}}}^{(2n+1)}}={{\left(-1\right)}^{n}}{\bar {\bar {M}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c778050c0b331a6634a07be6d9989b46c425921)
Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{matrix}}\right)={\bar {\bar {1}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {{\left(-1\right)}^{n}}{\left(2n\right)!}}{{\phi }^{2n}}-{\bar {\bar {M}}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {{\left(-1\right)}^{n}}{\left(2n+1\right)!}}{{\phi }^{2n+1}}}\\&=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{\left(2n\right)!}}{{\bar {\bar {M}}}^{2n}}{{\phi }^{2n}}-{\bar {\bar {M}}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{\left(2n+1\right)!}}{{\bar {\bar {M}}}^{2n+1}}{{\phi }^{2n+1}}}\\&=\exp \left(-{\bar {\bar {M}}}\phi \right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a961ccaef0848a56967a25b0672b9bc6e32ff33)
Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse
Erzeugende:
![{\displaystyle {{\bar {\bar {J}}}_{x}}=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043f036458c1b2a9094eaa079e07811a7f1109dd)
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
![{\displaystyle {{\bar {\bar {R}}}_{x}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{x}}\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489625c4333c08fa11248dc6e4ffcd7acb2e949b)
Bei der y- Achse gilt:
Erzeugende:
![{\displaystyle {{\bar {\bar {J}}}_{y}}=\left({\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622c8dcecac3ba35cd13bcb4ef303c53e169f90b)
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
![{\displaystyle {{\bar {\bar {R}}}_{y}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{y}}\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515fc5431716ef9a2be2cc78f55485bc9f5fcd4c)
Beliebige Drehungen um den Winkel
![{\displaystyle \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
mit der Drehachse
![{\displaystyle {\bar {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1435e777d640d5b9d55a041d6d40ec284e6d4e0f)
mit ![{\displaystyle {\bar {\phi }}:=\phi {\bar {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ee98eb46b7ac6b11b64744efe1bd5dc108cda9)
Die Drehmatrizen
![{\displaystyle {{\bar {\bar {R}}}_{}}({\bar {\phi }})=\exp \left(-\phi \sum \limits _{i=1}^{3}{}{{n}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8096c76a1e7150d051c4c04b0bd43f2690cbe10)
bilden nun eine 3- parametrige
,
stetige, diffbare
![{\displaystyle \left(in\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a6c26ef081b889623b49aeb9096de505afe7a3)
und orthogonale Gruppe.
Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen
SO(3)
Mit ![{\displaystyle {{\bar {\bar {R}}}^{t}}{\bar {\bar {R}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe51448dcee87887355d2697ab4feac03eb4d60)
als Orthogonalitätsbedingung, so dass
und ![{\displaystyle \det {\bar {\bar {R}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a728e719dd1486143b651564f709bf14a4d462)
zum Ausschluß von Raumspiegelungen.
Die Erzeugenden
![{\displaystyle {{\bar {\bar {J}}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6416e640984ffcfd9e4fd43c67f711c9bd0290)
der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):
![{\displaystyle \left[{{\bar {\bar {J}}}_{i}},{{\bar {\bar {J}}}_{k}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{k}}-{{\bar {\bar {J}}}_{k}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3405a45b496fefafaa7401c7e64a482ec57079)
i,k=x,y,z
Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab!:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{x}},{{\bar {\bar {J}}}_{y}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{z}}\\&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{z}},{{\bar {\bar {J}}}_{x}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{y}}\\&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{y}},{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{x}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bded8aa26494dc0d8fccbb73efced9feef85308)
→ zyklische Permutation des Lieschen Produktes