Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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__SHOWFACTBOX__
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\right|{\hat {\bar {p}}}\left|l,m\right\rangle ={\frac {\hbar }{i}}\nabla {{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})\\&\left\langle {\bar {r}}\right|{\bar {r}}\left|l,m\right\rangle ={\bar {r}}{{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4986a65d6c22f98f2db71c191f5729bce7cfb4)
![{\displaystyle {\hat {\bar {L}}}={\hat {\bar {r}}}\times {\hat {\bar {p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d310cde3905b6be0190d75e0a48da3589b385b6a)
ergibt:
![{\displaystyle \left\langle {\bar {r}}\right|{{\hat {L}}_{3}}\left|l,m\right\rangle ={\frac {\hbar }{i}}\left({{\hat {x}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{\hat {x}}_{2}}{{\partial }_{1}}\right){{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77c0fac9708c39449bec6ccd3a7e9477f522e87)
In Kugelkoordinaten:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\&{{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\&{{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\&{{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}={\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8164e5d561c2808ba36234ac819fc44f8287123a)
Aber:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}={\frac {\partial }{\partial \phi }}={\frac {i}{\hbar }}{{\hat {L}}_{z}}\\&\Rightarrow {{\hat {L}}_{z}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2575e708df4586688a847d9027551767f268ce0e)
in Kugelkoordinaten!
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec80a94c68c9f0c9e7a0f1d949173daac5a2a192)
Eigenwertgleichung für
.
Lösung
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )={{e}^{im\phi }}{{f}_{lm}}(r,\vartheta )\\&m=-l,...,l\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4cc7299f743bed0142e5ab6bd9f19dc262a784)
Eindeutigkeit:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left(\phi +2\pi \right)}}\\&\Rightarrow m\in Z\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368ec10ff80a046d347ddd1b5fcb93fd58371256)
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen
die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen
Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left(\phi +2\pi \right)}}\\&\Rightarrow m\in Z\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368ec10ff80a046d347ddd1b5fcb93fd58371256)
Leiteroperatoren:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\right|{{\hat {L}}_{\pm }}\left|l,m\right\rangle ={\frac {\hbar }{i}}\left({{\hat {x}}_{2}}{{\partial }_{3}}-{{\hat {x}}_{3}}{{\partial }_{2}}\pm i{{\hat {x}}_{3}}{{\partial }_{1}}\mp i{{\hat {x}}_{1}}{{\partial }_{3}}\right){{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})=\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+i\cot \vartheta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )\\&\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+i\cot \vartheta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar {{e}^{i\left(m\pm 1\right)\phi }}\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}-m\cot \vartheta \right){{f}_{lm}}(r,\vartheta )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96683a12aed4e2b954a9aa2cc299d2f163945985)
Für m=l (Maximalwert) ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {L}}_{+}}\left|l,l\right\rangle =0\\&\Rightarrow \hbar {{e}^{i\left(l+1\right)\phi }}\left({\frac {\partial }{\partial \vartheta }}-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642968b8516617dbc39b71da4283b6b6ab3b59d9)
Lösung:
![{\displaystyle \int _{}^{}{}{\frac {d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}}=l\int _{}^{}{}\cot \vartheta d\vartheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0506eb7b2e4e5a0f86c53a2d7d92df9883a4c032)
![{\displaystyle {{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left(-1\right)}^{l}}{\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)!}{2}}}{\frac {1}{{{2}^{l}}l!}}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bf9eb3f69a7de8e4c89cdf91b0fd318f09839f)
Mit dem Normierungsfaktor
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)!}{2}}}{\frac {1}{{{2}^{l}}l!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc27dd5151690f40ee3fe4dd76ba8bd3af21b1e1)
Erzeugung der anderen
![{\displaystyle {{\Psi }_{l,l-1}}({\bar {r}})\propto \left\langle {\bar {r}}\right|{{\hat {L}}_{-}}\left|ll\right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left(-{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{1-l}}{\frac {\partial }{\partial \cos \vartheta }}\left[{{\left(\sin \vartheta \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253e215e823cd8f5d559c8d4133e2d1900b21b8d)
Normierung:
![{\displaystyle {{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6cd07965f130bb0d0fae73c03ddca5ce16a429)
Mit den Kugelflächenfunktionen
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )={\frac {{e}^{im\phi }}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {{\left(-1\right)}^{m}}{{{2}^{l}}l!}}{\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)\left(l-m\right)!}{2\left(l+m\right)!}}}{\frac {1}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{m}}}{\frac {{d}^{l-m}}{d{{\left(\cos \vartheta \right)}^{l-m}}}}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{2l}}\\&{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )={\frac {{e}^{im\phi }}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {{\left(-1\right)}^{m}}{\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)\left(l-m\right)!}{2\left(l+m\right)!}}}{{P}^{m}}_{l}(\cos \vartheta )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf382893f52f217fd954515382358bf9e71c96a)
Wobei
![{\displaystyle {{P}_{l}}(x):={\frac {1}{{{2}^{l}}l!}}{\frac {{d}^{l}}{{\left(dx\right)}^{l}}}{{\left({{x}^{2}}-1\right)}^{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822ef113e4b9981446c5396a18fbfca20c61b331)
Legendre- Polynom l- ten Grades
![{\displaystyle {{P}_{l}}^{m}(x):={{\left(1-{{x}^{2}}\right)}^{\frac {m}{2}}}{\frac {{d}^{m}}{{\left(dx\right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19006003844ea34e1aa89464fd16d34dc173464d)
zugeordnetes Legendre- Polynom
Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase
Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{d\phi \int \limits _{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\right]}^{*}}{{Y}_{l{\acute {\ }}}}^{m{\acute {\ }}}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll{\acute {\ }}}}{{\delta }_{mm{\acute {\ }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006bbfc16820fae39298e1273bc8d7eb67dc1372)
Dies bedeutet:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{d\phi \int \limits _{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950a0172db370da205924527342cb17bfde4b34d)
oder in einer diskreten Basis:
![{\displaystyle \sum \limits _{l,m}{}{{\left({{Y}_{l}}^{m}\right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66091ba7420371d6bd139f4cb0c5c96e8a7a95b1)
→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!
Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:
![{\displaystyle F(\vartheta ,\phi )=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{\sum \limits _{m=-l}^{l}{}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7534c0691a903eecd3a2bdc40ce9d90db508ccf)
Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:
![{\displaystyle {{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left(-1\right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d4e95015eccfa05eb9abda58e647551f05fc0a)
Die Inversion am Ursprung liefert: (also:
)
, also
Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände
haben die Parität
(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)
Eigenfunktion
Knotenlinien von
l
m
Bemerkungen/ Parität
![{\displaystyle {{Y}_{0}}^{0}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6e1cb26b7650f4ef04f1bdf722f890a13a63ee)
0
0
0
gerade (s-Orbitale)
![{\displaystyle {{Y}_{1}}^{0}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \vartheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51094169017d16e18f85dbd33e735d7b62ec3a67)
1
1
0
ungerade (p-Orbitale)
![{\displaystyle {{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae35b0e63b8be2552dd8aae08c6e77ac205cf05b)
1
1
ungerade (ebenfalls p-Orb.)
![{\displaystyle {{\Psi }_{{P}_{x}}}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \vartheta \cos \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d302f88e8abd655cc7d0193a6b0b012803d8c39)
![{\displaystyle {{\Psi }_{{P}_{y}}}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \vartheta \sin \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cb2b33d6e93dff8790eec4edf4b777cae3b2ec)
![{\displaystyle {{Y}_{2}}^{0}={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\left(3{{\cos }^{2}}\vartheta -1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d527962a73712b8dc5e33d94eee8de60a735fa)
2
2
0
gerade (d-Orbitale)
![{\displaystyle {{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deea0b030d79683a7180b86b368f183015ba0e39)
2
2
gerade (d-Orbitale)
![{\displaystyle {{Y}_{2}}^{\pm 2}={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366f4a5641f53602511e8751af639f500eab20e0)
2
2
gerade (d-Orbitale)
Keine Knotenlinie
![{\displaystyle {{Y}_{0}}^{0}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6e1cb26b7650f4ef04f1bdf722f890a13a63ee)
n=1 à m=0, l=0
Eine Knotenlinie
![{\displaystyle {{Y}_{1}}^{0}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \vartheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51094169017d16e18f85dbd33e735d7b62ec3a67)
n=2, l=1, m=0
Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel
NULL!)
![{\displaystyle {{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae35b0e63b8be2552dd8aae08c6e77ac205cf05b)
- n=2, l=1, m=
![{\displaystyle \pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0)
Zwei Knotenlinien
![{\displaystyle {{Y}_{2}}^{0}={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\left(3{{\cos }^{2}}\vartheta -1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d527962a73712b8dc5e33d94eee8de60a735fa)
n=3, l=2, m=0
![{\displaystyle {{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deea0b030d79683a7180b86b368f183015ba0e39)
n=3, l=2, m=
![{\displaystyle {{Y}_{2}}^{\pm 2}={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366f4a5641f53602511e8751af639f500eab20e0)
n=3, l=2, m=