Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet (es existiert kein Ruhezustand)
Einstein, 1904
Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird!
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!!
Also:
Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant!
Formalisierung
Der raumzeitliche Abstand
![{\displaystyle {{\left(ds\right)}^{2}}:={{\left(cdt\right)}^{2}}-{{\left(d{\bar {r}}\right)}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684a3fa65e30aa8a5feef1e8d032ca03f424e22b)
ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen (Lorentz- Transformationen!)
Man kann
als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.
Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V (Spannen diesen auf).
V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde Pythagoras gelten!
Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:
Def.: Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}^{0}}:=ct\\&{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607413a0eb6b772e0bd6f53360276f17ace8a4f4)
Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors
es schreibt sich
![{\displaystyle {{\left(ds\right)}^{2}}={{\left(d{{x}^{0}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84c9fcd597c713b9d9b9fcbe95555072de14abf)
Def.: als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{0}}:={{x}^{0}}\\&{{x}_{\alpha }}:=-{{x}^{\alpha }}\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be57adde0ca7ede8618b2fe7da6c0af41851061)
Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums
![{\displaystyle {\tilde {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85c3b6a767475803068debfbe0e2320d715041d)
ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:
![{\displaystyle {\tilde {V}}=\left\{lineareFunktionale\quad l:V->R\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06d0ee1d60db8ee1a45558f2ddedb01f28bcaad)
es schreibt sich
![{\displaystyle {{\left(ds\right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccc08f099798580eca5986b34c31e8bdb0d3d8a)
Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...
Wenn ein Index oben (kontravariant) und ein Index unten (kovariant) steht.
Für beliebige 4- Vektoren
gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{a}_{0}}={{a}^{0}}\\&{{a}_{\alpha }}=-{{a}^{\alpha }}\quad \alpha =1,2,3\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d84394c9443daf532fc537e9b6982c308352f0)
Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt
schreiben:
![{\displaystyle \#:=\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}=-{\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794d2f5efe28fc9b949670a9366f71830fb6f31c)
Mit
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}}}\right)=:{{\partial }_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa88f8802f4e9be0e933827e0a7edaf1c2df6c72)
kovariant
Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\frac {\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}}}\right)=:{{\partial }^{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd900dcdb819d7d9707393457ca5d2ca28888161)
kontravariant
→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!
Also:
![{\displaystyle \Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e33efec8c3c7529f290d84a2f58e04a0c9c1131)
Vierergeschwindigkeit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{u}^{i}}:={\frac {d{{x}^{i}}}{ds}}\\&ds={{\left(d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}\right)}^{\frac {1}{2}}}={{\left({{c}^{2}}d{{t}^{2}}-{{\left(d{\bar {r}}\right)}^{2}}\right)}^{\frac {1}{2}}}=c{{\left[1-{{\left({\frac {1}{c}}{\frac {d{\bar {r}}}{dt}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {1}{2}}}dt\\&ds:={{\left(1-{{\beta }^{2}}\right)}^{\frac {1}{2}}}dt={\frac {c}{\gamma }}dt\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351bde2b4a983c528cde90c6c2fd9bb76b07ce85)
Dabei gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\beta :={\frac {v}{c}}={\frac {1}{c}}\left|{\frac {d{\bar {r}}}{dt}}\right|\\&\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4468893cd1ea9ca1212d91d1467294f53680bec)
Also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{u}^{0}}=\gamma \\&{{u}^{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}{{v}^{\alpha }}={\frac {1}{c}}{\frac {d{{x}^{\alpha }}}{d\tau }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece47bf30e82df0610d2e0aecdf37280dab8371b)
Mit der Eigenzeit
![{\displaystyle d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9daf79d7f89e972ccab5b766f1f73a98255c7ab6)
Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen!
![{\displaystyle {{u}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36c60307aa7d11d380d8b88644a472a997f2dd8)
ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}\\&\Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\\&{{p}^{0}}={\frac {{{m}_{0}}c}{\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}}=m(v)c={{p}_{0}}\\&{{p}^{\alpha }}={\frac {{{m}_{0}}{{v}^{\alpha }}}{\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}}=m(v){{v}^{\alpha }}=-{{p}_{\alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692e88a2eb4adde78641a26e7063051be17530ad)
Physikalische Bedeutung von
Mit der 4-er Kraft:
folgt die Leistungsbilanz:
![{\displaystyle {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[{\frac {d}{d\tau }}\left({{m}_{0}}c{{u}^{i}}\right)\right]{{u}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e1d2195b801e1cecaf10901e2a403c6592d647)
Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{k}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {{{m}_{0}}c}{2}}{\frac {d}{d\tau }}\left({{u}^{i}}{{u}_{i}}\right)=0\\&{{u}^{i}}{{u}_{i}}=1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ab39fa9c1edfd89c92863e5e0f4b73cee8f086)
also lorentzinvariant!
Außerdem gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{k}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {d}{d\tau }}\left({{p}^{0}}\right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma {\frac {d}{d\tau }}\left({{p}^{0}}\right)+{\frac {\gamma }{c}}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(c{{p}^{0}}\right)-{\bar {k}}{\bar {v}}\right]=0\\&\left(c{{p}^{0}}\right)=Energie\\&{\bar {k}}{\bar {v}}=Leistung\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4825e57997027fbe23ee9fa6f399b86bc49e90b5)
Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an
,
also
als Energie eines relativistischen Teilchens.
Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant
Also folgt an die Energie:
![{\displaystyle {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar {p}}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f14b7e9e574e1b262a922c98aa1c7e1892b041b)
Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung
Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:[edit | edit source]
Für Tensoren zweiter Stufe gilt:
Möglich ist:
Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}}\\&{{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}}\\&{{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}}\\&usw...\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d47cc1c12a00c96b61fcf90a3d196a09456339d)
Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:
![{\displaystyle spA={{A}^{i}}_{i}={{A}_{i}}^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31a368a95f83b1d1e5479506b111060f35285b6)
![{\displaystyle {{\delta }^{k}}_{i}={{\delta }_{i}}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6a0d388c3104ea28511b292f5646d282f632df)
wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{k}}={{a}^{i}}\\&{{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{kl}}={{a}^{il}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd821d63fb3915c9e786ec0215c28ff469d69fc)
usw..
Der metrische Tensor
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}={{\delta }^{i}}_{k}\quad f{\ddot {u}}r\ k=0\\&{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=-{{\delta }^{i}}_{k}\quad f{\ddot {u}}r\ k=1,2,3\\&{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left({\begin{matrix}1&{}&{}&{}\\{}&-1&{}&{}\\{}&{}&-1&{}\\{}&{}&{}&-1\\\end{matrix}}\right)={{g}_{ik}}\\&{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}_{i}}\quad f{\ddot {u}}r\ i=0\Rightarrow {{a}_{i}}={{a}^{i}}\\&{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}=-{{a}_{i}}\quad f{\ddot {u}}r\ i=1,2,3\Rightarrow -{{a}_{i}}={{a}^{i}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0bab3baa54e5c3a1c1e4b263fae17106f615315)
Also:
![{\displaystyle {{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f{\ddot {u}}r\ i=0,1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293ea33b609ba4c04237a2e48e6ac17a01741279)
Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}}\\&{{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae297e34b6cddc6c6e208c366e139e411634bfa)
für
Somit:
![{\displaystyle {{U}^{k}}_{i}=\left({\begin{matrix}\gamma &\beta \gamma &0&0\\\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae735cc7edb961448e5d98ad506e4cdc81e921c)
Wobei
Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{a}^{k}}\\&b{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{b}^{k}}\Rightarrow b{{\acute {\ }}_{i}}={{U}_{ik}}{{b}^{k}}={{U}_{i}}^{k}{{b}_{k}}\\&a{{\acute {\ }}^{i}}b{{\acute {\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}=!={{a}^{k}}{{b}_{k}}\\&also\Rightarrow :\\&{{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}={{\delta }_{k}}^{l}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897e2c3b5ff7c38ba421efe576cca886ae71b820)
U ist also eine orthogonale Trafo
Umkehr- Transformation:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{a}^{i}}={{U}_{k}}^{i}a{{\acute {\ }}^{k}}\\&{{a}_{i}}={{U}^{k}}_{i}a{{\acute {\ }}_{k}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2fd5979152a82b4715cbb69478744328b116c8)
Denn:
![{\displaystyle {{U}_{k}}^{i}{{U}^{k}}_{l}{{a}^{l}}={{\delta }^{i}}_{l}{{a}^{l}}={{a}^{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ed06823b8485e1e9daa07efea98ad000275d78)
In Matrizenschreibweise:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\quad \quad {{U}^{k}}_{l}=\left({\begin{matrix}\gamma &\beta \gamma &0&0\\\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&{{U}^{i}}_{k}{{U}^{k}}_{l}=\left({\begin{matrix}{{\gamma }^{2}}-{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}}&0&0&0\\0&-{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}}+{{\gamma }^{2}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)={{\delta }^{i}}_{l}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bb33ce334984103628ac22a86d8cf71d1f46f8)
Transformationsverhalten des Vierergradienten[edit | edit source]
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}:={{\partial }_{i}}={\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}}{\frac {\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}}={{U}^{k}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}}={{U}^{k}}_{i}\partial {{\acute {\ }}_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b5f687bae4a293fd217bb627573310533d96e6)
Mit der Identität
![{\displaystyle {\frac {\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}}={{U}^{k}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640b86f0171dc44e9cb3d98b40804590faa4b5a5)
Das heißt jedoch
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cbcf21cd766d539207ebe57e80741f0199f011)
transformiert sich wie
,
also kovariant
Analog kann gezeigt werden:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}:={{\partial }^{i}}={\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}_{k}}}}{\frac {\partial x{{\acute {\ }}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}={{U}_{k}}^{i}{\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}_{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9276cfba5c2e596edecca1b7e4ca1c00bbb53f19)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f88e39c036368228a1afe1cfb25a7bd927d790)
transformiert sich wie
,
also kontravariant. (PRÜFEN!)