Sei
und es gelte die Schödingergleichung mit
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =-{\text{i}}{\hat {H}}\left(t\right)\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97038c754130e46abd40228d7ec6169bf461a62)
Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich
mit
also
,
so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}={\text{i}}{{H}_{0}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}{\frac {d}{dt}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21e67580cd5a6e544c1c6b26c393d3782e519cb)
Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}={\text{i}}{{H}_{0}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}-{\text{i}}U_{0}^{+}\left({{H}_{0}}+V\left(t\right)\right)\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \\&={\text{i}}\left({{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left({{H}_{0}}+V\left(t\right)\right){{U}_{0}}\right){{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af13ad66e6ab05406a1e01bf33fce156638f9f46)
- mit
.
Unter Verwendung von
erhält man
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}=-{\text{i}}\underbrace {\left(U_{0}^{+}V\left(t\right){{U}_{0}}\right)} _{:={{V}_{I}}\left(t\right)}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c5a43aaeaefeeab83b2ce04e0ff74e43f30bea)
Nun kann man mit der Abkürzung
und
die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}=\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle -{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left(t'\right)}{{\left|\Psi \left(t'\right)\right\rangle }_{I}}\\&=\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle -{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left(t'\right)}\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle +O{{\left({{V}_{I}}\right)}^{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9d2905d1a4d0ade3a0cbd7e03aed113fc12938)
Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung
als bekannt an so erhält man mit der Festlegung
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}=\left|i\right\rangle -{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left(t'\right)}\left|i\right\rangle +O{{\left({{V}_{I}}\right)}^{2}}\\&{{\left\langle f|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}={{\delta }_{i,f}}-{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,\left\langle f\right|{{V}_{I}}\left(t'\right)}\left|i\right\rangle +O{{\left({{V}_{I}}\right)}^{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce50cac1e3607568477e2360ecae4a49b23b5de2)
Für
folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von
)
(das –i verschwindet durch den Betrag).
Für
folgt nun,
![{\displaystyle \,\left\langle f\right|{{V}_{I}}\left(t\right)\left|i\right\rangle =\,\left\langle f\right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left|i\right\rangle =\,{{e}^{i\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t}}\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98cfc81be2c01e4c218839b1d2a7379f9191bb65)
![{\displaystyle {{P}_{i\to f}}\left(t\right):={{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}{{\left|\int \limits _{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t'}}}\right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce932cf1ed76fe5f4a84f48846eac1a640aba59)
Unter Verwendung der Definition der [1] ergibt das Integral
![{\displaystyle {{\left|\int \limits _{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{{\text{i}}\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t'}}}\right|}^{2}}={{\left|{\frac {{{e}^{{\text{i}}\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t}}-1}{{\text{i}}\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)}}\right|}^{2}}={\frac {{{\sin }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)}{{\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}\right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ed6615ae121fa71af26acd7c13b829dc241883)
Um die Rate, die durch
![{\displaystyle {{\Gamma }_{i\to f}}:={\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{t}}{{P}_{i\to f}}\left(t\right)={{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}{\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,t{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123108430570f6c404112db2f27930f3b28b563a)
- definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der Sinc-Funktion als [2], verwenden.
![{\displaystyle {{\Gamma }_{i\to f}}={{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}\pi {\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {t}{\pi }}{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)=2\pi {{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}\delta \left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8c7dd3701bc9a5b02b85f61682c4e171cf12ce)
Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte
.
![{\displaystyle {{\Gamma }_{i\to f}}={\frac {2\pi }{\left(\hbar \right)}}\rho \left({{E}_{f}}\right){{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e704b6d174a38a77163a07cecc98e2f8be78df)
Zu bemerken ist noch, dass
Dabei wurde bei ...
![{\displaystyle {{\delta }_{\epsilon }}(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445a03cfeb70b442a065e661f263795323320831)
mit
folgt dass
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {E\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{E}}f\left({\frac {x}{E}}\right)=\delta \left(x\right)\\&{\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,tf\left(tx\right)=\delta \left(x\right)\\&{\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,t{\frac {1}{\pi }}{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left(tx\right)=\delta \left(x\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c289eb79f0aa16a6f7e859d57cf456e0363015)
Mit
und
folgt
verwendet