Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Elektrisches Feld und Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Lineare Superposition (4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen
bei
, i=1,2,... auf die Ladung
bei
:
![{\displaystyle {{\bar {F}}_{e}}^{(2)}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}{}{\frac {q{{q}_{i}}}{{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}^{2}}}{\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a380693eb35f0584964058c6acb1eb6461dc381)
Darüber wird das elektrische Feld definiert:
![{\displaystyle q\cdot {\bar {E}}\equiv {{\bar {F}}_{e}}^{(2)}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}{}{\frac {q{{q}_{i}}}{{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}^{2}}}{\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b43e04d6cc8a87a4387f00e5b34c267e3971de)
Also:
![{\displaystyle {\bar {E}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}{}{\frac {{q}_{i}}{{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}^{2}}}{\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b131461e0bd4e384517d54a06dc251167ac965)
Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?
- Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen (maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
- Das Feld
ist der physikalische Zustand des leeren Raumes bei
.
- Eigenständige Felddynamik (partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung (Retardierungseffekte{{#set:Fachbegriff=Retardierungseffekte|Index=Retardierungseffekte}})
- Feld muss Impuls, Drehimpuls und Energie aufnehmen und abgeben können.
Einheit:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[E\right]={\frac {N}{C}}={\frac {kgm}{C{{s}^{2}}}}={\frac {V}{m}}\\&1V:=1{\frac {kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267802e4d2aa25b51ce7159fbc7a66819c85f0d2)
Das Volt ist benannt nach A. Volta (1745 - 1887)
Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
Dabei sollte q→ 0, damit keine Rückwirkung auf
erfolgt.
Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:
![{\displaystyle \left[{\bar {E}}({\bar {r}})\right]={\begin{matrix}\lim \\q\to 0\\\end{matrix}}{\frac {1}{q}}{\bar {F}}({\bar {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369c0d7eb358a9e1c89d3dc0a037543b001874b3)
Das Elektrostatische Potenzial[edit | edit source]
Mit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla {\frac {1}{r{\acute {\ }}}}=-{\frac {1}{r{{\acute {\ }}^{3}}}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&r{\acute {\ }}:=\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4da4d3e4fed8683a5915a1780ad4e3416508d3)
Läßt sich schreiben:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}^{}{}{\frac {{q}_{i}}{|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}{{|}^{3}}}}\left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right)=-\nabla \Phi ({\bar {r}})\\&\Phi ({\bar {r}}):={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}^{}{}{\frac {{q}_{i}}{|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}|}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca2f7bb31b8224e8970d4cd4b7c124e00ffd398)
Mit dem elektrostatischen Potenzial
,
Einheit : 1 V
Kontinuierliche Ladungsverteilung[edit | edit source]
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{q}_{i}}\to {{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\\&\sum \limits _{i}^{}{}{{q}_{i}}\to \int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho }({\bar {r}}{\acute {\ }})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3851dfb85b41ea160462113e1ee5f939f318a2f9)
Mit der Ladungsdichte
.
Diese muss beschränkt sein und
![{\displaystyle O\left({{r}^{-3-\varepsilon }}\right),\varepsilon >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08a5ccd962d2507523170b24a65427dee429c48)
für
.
Es wird
Bei Verteilung von Punktladungen:
![{\displaystyle \rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})=\sum \limits _{i}^{}{}{{q}_{i}}\delta ({\bar {r}}{\acute {\ }}-{{\bar {r}}_{i}})=\sum \limits _{i}^{}{}{{q}_{i}}\prod \limits _{j=1}^{3}{}\delta ({{x}_{j}}{\acute {\ }}-{{x}_{j}}_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99d585292709229a7f1c4152d66d16d098ac2cd)
Quellen des elektrischen Feldes[edit | edit source]
Bei Punktladung q bei
![{\displaystyle {\bar {r}}{\acute {\ }}=0\Rightarrow {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {q}{{r}^{2}}}\cdot {\frac {\bar {r}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64fe41dc082c58d1012fc0d6df783770a65def3)
Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:
![{\displaystyle {{\Phi }_{e}}=\oint _{S}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \oint _{S}{}{\frac {d{\bar {f}}\cdot {\bar {r}}}{{r}^{3}}}=\oint _{S}{df}{{E}_{n}}({\bar {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5299080e2900764fc3e9198a3574cc66b0e5064)
als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes
![{\displaystyle {{\Phi }_{e}}=\oint _{S}{df}\left|{\bar {E}}({\bar {r}})\right|\cos \Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53deb0145094876af380bbd0f305fc5b92cb6f4d)
entspricht einem Raumwinkel
![{\displaystyle d\Omega :d{\bar {f}}\cdot {\bar {r}}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4938ceab3c7e63a6ee73abb7f72ccf347c15a9a)
![{\displaystyle {{\Phi }_{e}}=\oint _{S}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \oint _{S}{}d\Omega ={\frac {q}{{\varepsilon }_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b8077c0e15aea92c420bf2fe04f1169a502c95)
![{\displaystyle \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint _{S}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ddec922aa1b5ebc7aedb38f9e0260d7a720faa)
Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:
![{\displaystyle \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint _{\partial V}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5d20a3b6d8fbf3322cc53d831188ca52df1341)
Der Fluß des elektrischen Feldes einer von
eingeschlossenen Gesamtladung
Integralform des Coulomb- Gesetzes
Satz:
{{#set:Satz=Gaußscher Integralsatz|Index=Gaußscher Integralsatz}}
wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow \int _{V}^{}{{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}}\right)}={{\varepsilon }_{0}}\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)\\&\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\rho \left({\bar {r}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49d797d1d940c2865e9ef317fc20768ae7bb8bf)
Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.
![{\displaystyle {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\rho \left({\bar {r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e22f87edce1199eba4d79a66b483fd408d89fd5)
sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind.
Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre
![{\displaystyle {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right),\rho \left({\bar {r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f2c04edc376941d320e373e8569742a22b060e)
Äquivalente Aussagen der Elektrostatik
Es gilt:
![{\displaystyle 1)\Leftrightarrow 2)\Leftrightarrow 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f13dcc06e2e170b85a283e06aa1ce25f9b78b0c)
Beweis:
![{\displaystyle 1)\Leftrightarrow 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709fa0846108c9e094f98ed0632da5b1ef5e3d40)
Stokescher Satz:
Satz:
{{#set:Satz=Stokescher Satz|Index=Stokescher Satz}}
für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
.