Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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__SHOWFACTBOX__
Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188fb3ddec3021c85bcf14514c2991f621e2ae2)
einen scharfen Wert:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle =\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\Psi *({\bar {r}}){{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\Psi ({\bar {r}})=}\left\langle {{\left({\hat {F}}-\left\langle {\hat {F}}\right\rangle \right)}^{2}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {F}}^{2}}\right\rangle -{{\left\langle {\hat {F}}\right\rangle }^{2}}\\&=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\Psi *({\bar {r}}){{\left({\hat {F}}\right)}^{2}}\Psi ({\bar {r}})}-{{\left(\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\Psi *({\bar {r}}){\hat {F}}\Psi ({\bar {r}})}\right)}^{2}}=0\\&\Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{\hat {F}}^{2}}\left|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6932ededc233e1cdff9bc07e3851a25acf066980)
Für hermitesches F als physikalische Observable mit
![{\displaystyle \left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle *}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5381993b3337978ecd8294d820babafc069047e)
Sei
![{\displaystyle {\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle :=\left|\Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{\hat {F}}=\left\langle \Phi \right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be4546d26d56f54c13ab8b91ef700a912fb484c)
So folgt aus
,
dass
![{\displaystyle \left\langle \Phi |\Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat {F}}^{2}}\left|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi |\Psi \right\rangle }^{2}}={{\left|\left\langle \Phi |\Psi \right\rangle \right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8b8bc675d2ae10a2beeaabf5678fb318ca3ce0)
Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|\left\langle \Phi |\Psi \right\rangle \right|}^{2}}\leq {{\left\|\Phi \right\|}^{2}}{{\left\|\Psi \right\|}^{2}}\\&{{\left\|\Psi \right\|}^{2}}=1\\&\Rightarrow {{\left\|\Phi \right\|}^{2}}{{\left\|\Psi \right\|}^{2}}={{\left\|\Phi \right\|}^{2}}=\left\langle \Phi |\Phi \right\rangle \\&{{\left|\left\langle \Phi |\Psi \right\rangle \right|}^{2}}\leq \left\langle \Phi |\Phi \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ea0ebdeb9be4d0e28917abb91b2aaab07b319b)
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|\Phi \right\rangle =\alpha \left|\Psi \right\rangle \quad \alpha \in C\\&\Leftrightarrow {\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle =\alpha \left|\Psi \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eef0334f02f14f726d6a2bb3b7354d4664b21cb)
Das heißt, für den normierten Zustand
folgt alleine aus der Schwarzschen Ungleichung, dass
Eigenzustand zu
ist.
Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell
Beweis:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi |\Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right|{{\hat {F}}^{+}}\left|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle *=\alpha *\\&\Rightarrow \alpha \in R\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1ffdd85eb22ad9dc371171f3a82dae72dd5ceb)
Vergleiche Energie- Eigenwert
Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein!
Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:
Beweis:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle ={{F}_{1}}\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle \\&{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle ={{F}_{2}}\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle \\&\Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}}\right|{\hat {F}}={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}}\right|\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6f81724a86180a074d62554db90f58d14a29a0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{\Psi }_{1}}\right|{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}}|{{\Psi }_{2}}\right\rangle \\&\left\langle {{\Psi }_{2}}\right|{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle ={{F}_{1}}\left\langle {{\Psi }_{2}}|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{1}}\right|{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle *={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}}|{{\Psi }_{2}}\right\rangle \quad falls\ {\hat {F}}={{\hat {F}}^{+}},{{F}_{2}}={{F}_{2}}*\\&\left\langle {{\Psi }_{2}}\right|{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {F}}^{+}}{{\Psi }_{2}}|{{\Psi }_{1}}\right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}}|{{\Psi }_{1}}\right\rangle \\&\left\langle {{\Psi }_{2}}\right|{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle -\left\langle {{\Psi }_{2}}\right|{\hat {F}}\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =\left({{F}_{2}}-{{F}_{1}}\right)\left\langle {{\Psi }_{2}}|{{\Psi }_{1}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d740b04f75d597a12b2a11eeddb97741473051b1)
Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:
![{\displaystyle \left\langle {{\Psi }_{2}}|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505c551a004d2bc24ebe38c7838cae7eeaf6b4af)
Wegen der Normierung gilt:
![{\displaystyle \left\langle {{\Psi }_{n}}|{{\Psi }_{m}}\right\rangle ={{\delta }_{nm}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f12a6d3d97b9fa182ffb9db1b0a24ab953a4048)
Kontinuierlicher Fall:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle F|F{\acute {\ }}\right\rangle =\delta (F-F{\acute {\ }})\\&\left\langle {\bar {r}}|{\bar {r}}{\acute {\ }}\right\rangle =\delta ({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a9e908213586443cc4c5c5b98b0af4c685ab3b)
Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:
(vergleiche Fick, S. 114)
→ sogenannte Dirac- Zustände!
Entartung (Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)
Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten!
n=0,1,2,3,...
, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
- facher Entartung
Aus
folgt bereits:
Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.
Möglich wäre
für
.
Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein.
Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn.
In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzustände
überführen:
![{\displaystyle \left|n,\beta \right\rangle =\sum \limits _{\alpha =1}^{{\alpha }_{n}}{\left|n,\alpha \right\rangle }{{c}_{\alpha \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05019073ede3656e07f4aa03d42e35655a4921c)
Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:
Also gilt dann:
![{\displaystyle \left\langle n,\beta |m,\beta {\acute {\ }}\right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta {\acute {\ }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0aed258a945d30bc89067dce1b68cf1bac02fc5)
Theorem 3:
Zwei hermitesche Operatoren
und
kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen:
Beweis:
Sei
und![{\displaystyle {\hat {F}}\left|n\right\rangle ={{F}_{n}}\left|n\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6618a2b764c0ad88dda3fbe30bfe1612b50a6584)
![{\displaystyle \Rightarrow \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\left|n\right\rangle ={\hat {F}}{\hat {G}}\left|n\right\rangle -{\hat {G}}{\hat {F}}\left|n\right\rangle ={\hat {F}}{\hat {G}}\left|n\right\rangle -{{F}_{n}}{\hat {G}}\left|n\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0f95fcab87434291debe8a948be255585ad146)
Also ist
Eigenzustand zum Operator
mit Eigenwert
Ist
nicht entartet, so folgt
, also ist
auch Eigenzustand zu
Ist
entartet, so kann, explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von
zum Eigenwert
durch orthonormierte
aufgespannt werden.
Dann kann der Eigenvektor
entwickelt werden, gemäß
Die Matrix
ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:
![{\displaystyle \left|n,\gamma \right\rangle =\sum \limits _{\beta }{{U}_{\gamma \beta }}\left|n,\beta \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85480e1c2bbf3a4091160449f311a3f176dec95d)
Mit
(" Drehung der Basis")
Somit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{c}_{\beta {\acute {\ }}\beta }}=\left\langle n,\beta {\acute {\ }}\right|{\hat {G}}\left|n,\beta \right\rangle ={{G}_{n\beta }}{{\delta }_{\beta {\acute {\ }}\beta }}\\&{\hat {G}}\left|n,\beta \right\rangle =\sum \limits _{\beta {\acute {\ }}}{\left|n,\beta {\acute {\ }}\right\rangle }{{c}_{\beta {\acute {\ }}\beta }}={{G}_{n\beta }}\left|n,\beta \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5577e88e72d1cb61868129e4139d7951f8b5b3)
Also ist
auch Eigenvektor zu
Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben!
Leicht: Umkehrung:
Sei
ein vollständiges System von Eigenvektoren zu![{\displaystyle {\hat {F}},{\hat {G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d7954fa3cc2bdd97c3090ceeda4b457eceab36)
Definition
Ein Operator
heißt UNITÄR, falls
Daraus folgt:
Mit
folgt für beliebige![{\displaystyle \Psi ,\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388d02dabd321071817e56cf3ab2b29b97f7795b)
Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären!
Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere.
dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten (die Skalarprodukte) nicht ändern
Nur unitäre Transformationen sind erlaubt!
Insbesondere:
Transformationen in die Eigenbasis eines OperatorsFehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}}
= Diagonalisierung vonFehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U\left| \Psi \right\rangle \\ & \left| \Psi \right\rangle ={{U}^{+}}\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle \\ & {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} \\ & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =\left\langle \Phi \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\left| \Psi \right\rangle ={{F}_{\Psi }}{{\delta }_{\Psi \Phi }} \\ \end{align}}
Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls
mit
als Eigenwert
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}}
diagonal!