Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Drehimpulsdarstellung und Streuphasen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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__SHOWFACTBOX__
Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r)
Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung
in die Drehimpulsdarstellung
freier Teilchen.
Ziel:
Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen mit kleinem l als Näherung für KLEINE Energien
klein
Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt:
![{\displaystyle \Psi ({\bar {r}})=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7723f7cb5d7084677b6c263ac037c1cf95cad2eb)
(Mit den Legendre- Polynomen
)
Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also
unabhängig sind wegen des kugelsymmetrischen Potenzials → es treten nur Drehimpulseigenfunktionen mit m=0 auf!
![{\displaystyle {{\Psi }_{e}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}={{e}^{ikr\cos \vartheta }}=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc189c25531a0a10d7cf12b26f0902d986f1f2fc)
Die einlaufende Welle ist also ein Legendre- Polynom vom Grad l
Es gilt die Orthogonalität:
Dabei taucht der Entartungsgrad
als inverser Normierungsfaktor auf. (Der Betrag der Legendre- Polynome ist also indirekt proportional zum Entartungsgrad!)
Aus der Orthogonalitätsrelation erhält man mit Multiplikation mit
und Integration
dass:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2l{\acute {\ }}+1}{2}}\int _{-1}^{1}{d\xi }{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l{\acute {\ }}}}(\xi )={\frac {1}{r}}{{u}_{l{\acute {\ }}}}(r)\\&{{e}^{ikr\xi }}:=u{\acute {\ }}\\&{{P}_{l{\acute {\ }}}}(\xi ):=v\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e97558eb0e0442759b2d6918585954458a2e4e)
im asymptotischen Verhalten
gewinnt man (Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der partiellen Integration:
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)={\frac {2l+1}{2}}\left\{{\frac {1}{ikr}}\left[{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}(\xi )\right]_{-1}^{+1}-{\frac {1}{{\left(ikr\right)}^{2}}}\left[{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}{\acute {\ }}(\xi )\right]_{-1}^{+1}+{\frac {1}{{\left(ikr\right)}^{3}}}\left[{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}(\xi )\right]_{-1}^{+1}+...\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233d97a7f2968e8dc524e2a94b070193ca3b42c8)
Mit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{P}_{l}}(1)=1\\&{{P}_{l}}(-1)={{(-1)}^{l}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae228000f3a493c2cf4be0f23063fdf454a69acf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)={\frac {2l+1}{2}}{\frac {1}{ikr}}\left\{{{e}^{ikr}}-{{(-1)}^{l}}{{e}^{-ikr}}\right\}={\frac {2l+1}{2}}{\frac {1}{ikr}}{{i}^{l}}\left\{{{e}^{i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}-{{e}^{-i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}\right\}\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)=\left(2l+1\right){\frac {{i}^{l}}{kr}}\sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98be19be792c4ce864d1cb14ae8e3e5a06414bf0)
Zusammenhang mit der freien Schrödingergleichung[edit | edit source]
ist Lösung der freien Schrödingergleichung.
![{\displaystyle \left(-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta -E\right){{\Psi }_{e}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35ca96684e3ecc00815027acde87625544fccc6)
Mit
Separation in Kugelkoordinaten erlaubt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {L}}^{2}}Y_{l}^{m=0}={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y_{l}^{m=0}\\&Y_{l}^{m=0}{\tilde {\ }}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f7beefc6a0a801821e80cfa63134b174c76d3b)
Es folgt die Bestimmungsgleichung für die radialen Funktionen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{u}_{l}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}(r)+\left({{k}^{2}}-{\frac {l(l+1)}{{r}^{2}}}\right){{u}_{l}}(r)=0\\&mit\\&{{u}_{l}}(0)=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefd5393b0094df24f473bf5eb7055bfffe89f49)
Vergl. S. 84, §3.3
Voraussetzung ist die REGULARITÄT:
Die Lösung nach Schwabel, Seite 278 lautet:
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)={\frac {2l+1}{{(-i)}^{l}}}{{j}_{l}}(kr)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e40b525497994afcde8b210db15d596360d3744)
Also die sphärischen Besselfunktionen!
Die radialen Lösungen für das Streuproblem (Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die sphärischen Besselfunktionen
Wieder entwickeln wir in Kugelflächenfunktionen. Diesmal jedoch die asymptotische Streuwelle:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{{\Psi }_{S}}({\bar {r}})=f(\vartheta ){\frac {{e}^{ikr}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0597993a1597132552a7c2aa8fd8727fe281900)
Es folgt:
![{\displaystyle f(\vartheta )=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{{f}_{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96ccdc4f1b7d8a76ef22855356c726d00b4707a)
Setzen wir dies in den Wirkungsquerschnitt{{#set:Fachbegriff=Wirkungsquerschnitt|Index=Wirkungsquerschnitt}} ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt
![{\displaystyle {\begin{array}{*{35}{l}}{}&{{\sigma }_{tot.}}=\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|f(\vartheta )\right|}^{2}}\\{}&auerdem\\{}&\int _{-1}^{1}{d\xi }{{P}_{l}}(\xi ){{P}_{l{\overset {\acute {\ }}{\mathop {\ } }}\,}}(\xi )={\frac {2}{2l+1}}{{\delta }_{ll{\overset {\acute {\ }}{\mathop {\ } }}\,}}\\{}&\Rightarrow {{\sigma }_{tot.}}=\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|f(\vartheta )\right|}^{2}}=2\pi \sum \limits _{l=0}^{\infty }{{\frac {2}{2l+1}}{{\left|{{f}_{l}}\right|}^{2}}=:}\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{{\sigma }_{l}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611de3b6fe2a5392db3b244df3bcf5a5d65ad4c)
Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach Partialwellen{{#set:Fachbegriff=Partialwellen|Index=Partialwellen}}, l=0,1,2,3...
![{\displaystyle {{\sigma }_{l}}={\frac {4\pi }{2l+1}}{{\left|{{f}_{l}}\right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d549a02b6be08b2190a5ab27b4270b00f5c4ba7)
Die
müssen dabei noch bestimmt werden:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\Psi ({\bar {r}})={{e}^{ikr\cos \vartheta }}+f(\vartheta ){\frac {{e}^{ikr}}{r}}\\&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\sum \limits _{l}{}{\frac {{u}_{l}}{r}}{{P}_{l}}(\xi )=\sum \limits _{l}{}\left\{\left(2l+1\right){\frac {{i}^{l}}{kr}}\sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)+{{f}_{l}}{\frac {{e}^{ikr}}{r}}\right\}{{P}_{l}}(\xi )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654fa8bd6d6fc55db330eb460698a5a622735bfc)
Dieser asymptotische Verlauf muss sich jedoch auch in der Form
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\sum \limits _{l}{}{\frac {{u}_{l}}{r}}{{P}_{l}}(\xi )={{C}_{l}}\sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96be5673f7ad889cb1837cbf4850020e1bcc2eec)
- darstellen lassen. Dabei findet sich in
![{\displaystyle \sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca8ab90fe17338f5372cd4cb3de362d77bb3f66)
die sogenannte asymptotische Phasenverschiebung
der auslaufenden (freien) Partialwelle gegenüber der einlaufenden freien Partialwelle.
Der Koeffizient
muss durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden:
![{\displaystyle {\frac {{C}_{l}}{2i}}\left\{{{e}^{i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)}}-{{e}^{-i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)}}\right\}=\left\{{\frac {\left(2l+1\right)}{2i}}{\frac {{i}^{l}}{k}}\left[{{e}^{i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}-{{e}^{-i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}\right]+{{f}_{l}}{{e}^{ikr}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c19afbe23ec1c0d713ee0391236452eb021ac17)
Der Koeffizientenvergleich erfolgt über den separierten Vergleich der Terme mit
:
![{\displaystyle {{e}^{-ikr}}:{{C}_{l}}={\frac {\left(2l+1\right)}{k}}{{i}^{l}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740306d2204e60ed322c684ad3eb3e3e38da267c)
![{\displaystyle {{e}^{ikr}}:{\frac {1}{2i}}{{C}_{l}}{{e}^{-il{\frac {\pi }{2}}}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}={\frac {\left(2l+1\right)}{2i}}{\frac {{i}^{l}}{k}}{{e}^{-il{\frac {\pi }{2}}}}+{{f}_{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e652cf3ca5093edef54da10091f568d6b9f820f5)
Damit folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{f}_{l}}={\frac {2l+1}{2ik}}{{i}^{l}}{{e}^{-il{\frac {\pi }{2}}}}\left({{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1\right)={\frac {2l+1}{2ik}}\left({{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1\right)\\&\Rightarrow {{f}_{l}}={\frac {2l+1}{k}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}\sin {{\delta }_{l}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7d449135004c8cd9b5979af1162dd9a67970a8)
Mit der
- Streuamplitude
und der
- Streuphase
der l-ten Partialwelle.
Es folgt:
![{\displaystyle \Rightarrow {{\sigma }_{l}}={\frac {4\pi }{{k}^{2}}}\left(2l+1\right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc917541f205e9e8d9e50ed1d567150a2ed52382)
Spezialfall für
ist die sogenannte s- Welle.
Diese ist isotrop wegen
und damit nicht mehr von
abhängig.
Ihr Streuquerschnitt lautet
Im Prinzip wird
aus der Schrödingergleichung mit dem Potenzial V(r) bestimmt.
Bemerkung
Bei genügend kleinen Energien
werden nur die niedrigsten Partialwellen (für kleine l) gestreut.
Denn:
in
tragen nur die l mit
bei.
Dabei ist a die Reichweite des Potenzials!
Grund (aus semiklassischer Betrachtung):
Es falle ein Teilchen mit
ein:
Dabei:
![{\displaystyle \left|{\bar {L}}\right|=\left|{\bar {r}}\times {\bar {p}}\right|=bp=\hbar kb=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3949d355a7ac5c75ee5c73ea83cc08ec9921d87)
Dies impliziert jedoch:
Stoßparameter
Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise!
Das folgende Bild zeigt die Streuwelle
für die Streuung einer ebenen Welle
an einem abstoßenden Potenzial.
Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte
der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen: