Deterministisches Chaos

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Deterministisches Chaos basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit

$n\ge 3$

(autonom):

Seltsamer (chaotischer) Attraktor

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:

quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble)

Attraktor: Torus

$T^d$

d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension

$f\stackrel{~}{}{10}^{24}$ Autokorrelationsfunktion $⟨x(t)x(t+\tau )⟩:=\begin{array}{c}\lim \\ T\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{2T}\underset{-T}{\overset{T}{\int }}x(t)x(t+\tau )d\tau$

periodisch in

$\tau$

$\to 0$

für

$\tau \to \mathrm{\infty }$

$=0$

für

$\tau >{\tau }_c$

Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum):

$S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}⟨x(t)x(t+\tau )⟩e^{i\omega \tau }d\tau$

diskrete Frequenzen

${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,...$

b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

Bahnstabilität / Orbitale Stabilität

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer

$\epsilon$

- Röhre um

$\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)$

Aymptotisch bahnstabil:

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich

Ljapunov- stabil

Für DASSELBE t gilt:

$|\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)-\mathrm{\Phi }(t,{\overline{y}}_0)|\to 0$

für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve

$\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)$

$\begin{array}{ll}& \delta {\dot{x}}_i=\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial x_k}(\overline{x}(t),t)\delta x_k\\ & \frac{\partial F_i}{\partial x_k}(\overline{x}(t),t):=A_{ik}(t)\\ \end{array}$

Dabei:

${\lambda }_k(t)zu{A}_{ik}(t)$

Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren

${\overline{\xi }}^{(k)}(t)$

Formale Lösung:

$\delta \overline{x}(t)=e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}A(t\stackrel{´}{})}\delta \overline{x}(0)$

Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um

${\overline{x}}_0$,

also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen

$p_k(t)\stackrel{~}{}{p}_k(0)e^{{\lambda }_{k}t}$

Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten

${\overline{\lambda }}_k:=\begin{array}{c}\lim \\ t\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{t}\ln \frac{p_k(t)}{p_k(0)}$

Nebenbemerkung: Sei

$\lambda$

der führende (größte) Ljapunov- Exponent

$\lambda :=\begin{array}{c}\lim \sup \\ t\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{t}\ln |\overline{x}(t)-\overline{y}(t)|$

$\Rightarrow$

$|\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)-\mathrm{\Phi }(t,{\overline{y}}_0)|\stackrel{~}{}{e}^{\lambda t}$

Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit

$e^{\lambda t}$.

Für

$\lambda$

<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft

$\lambda$

>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im

$R^3$

gilt:

Auf dem Attraktor:

${\overline{\lambda }}_1>0$

auf dem Attraktor: chaotische Bewegung

${\overline{\lambda }}_2=0$

Bifurkationspunkte

${\overline{\lambda }}_3<0$

Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell).

Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: