Das ideale Bosegas

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das ideale Bosegas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:

${\begin{aligned}&Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{\infty }{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)\\&=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\right)\\&{{t}_{j}}:=\exp \left(-\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)\\&Y=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{\frac {1}{1-{{t}_{j}}}}=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{{Y}_{j}}\\\end{aligned}}$

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn ${{t}_{j}}<1$, also wenn ${{E}_{j}}>\mu$

à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!

Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:

${\begin{aligned}&P\left({{N}_{1}},{{N}_{2}},...\right)={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}^{{N}_{j}}=\prod \limits _{j=1}^{l}{}p\left({{N}_{j}}\right)\\&(separiert)\\&\\&p\left({{N}_{j}}\right)=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}^{{N}_{j}}=\left(1-\exp \left(\beta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)\right)\right)\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\\&1-\exp \left(\beta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)\right):={{e}^{{\Psi }_{j}}}\\&p\left({{N}_{j}}\right)={{e}^{{\Psi }_{j}}}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\\\end{aligned}}$

Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:

${\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {{Y}_{j}}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln \left(1-{{t}_{j}}\right)={\frac {{t}_{j}}{1-{{t}_{j}}}}={\frac {1}{{{t}_{j}}^{-1}-1}}\\&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left(\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)-1}}={\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({{E}_{j}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\\end{aligned}}$

Bose- Verteilung

Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus

${\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{N}_{j}}\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}^{{N}_{j}}=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}{\frac {d}{d{{t}_{j}}}}\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\\&=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}{\frac {d}{d{{t}_{j}}}}\left({\frac {1}{1-{{t}_{j}}}}\right)=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\left({\frac {1}{{\left(1-{{t}_{j}}\right)}^{2}}}\right)={\frac {{t}_{j}}{\left(1-{{t}_{j}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ

Vergleich aller drei Verteilungen:

$\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({{E}_{j}}-\mu \right)}{kT}}\right)-k}}\left\{{\begin{matrix}k=1\\k=0\\k=-1\\\end{matrix}}\right.$

mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik k=0 → Maxwell- Boltzmann k= + 1 → Bose - Einstein!

Übergang zum Quasikontinuum der Zustände: $E={\frac {{p}^{2}}{2m}}$

Fugazität: $\xi ={{e}^{\beta \mu }}$

${\begin{aligned}&\ln Y=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\ln {{Y}_{j}}=-\sum \limits _{j}^{}{}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\approx -\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\&=-\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\left[{\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{}dp{\frac {{p}^{3}}{3}}{\frac {\beta {\frac {p}{m}}\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}\right]\\&{\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)_{0}^{\infty }=0\\&\Rightarrow \ln Y={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}{\left({\frac {1}{\zeta }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}-1\right)}}={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right){\frac {V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle E(p)\\&\Rightarrow \ln Y={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right){\frac {V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle E(p)={\frac {2}{3}}\beta U\\\end{aligned}}$

somit folgt:

$pV=kT\ln Y={\frac {2}{3}}U$

also identisch zum fermigas! (S. 131)

Verdünntes Bosegas

(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)

Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert!

Entwicklung nach Potenzen von

$\xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1$

also:

$\mu <0$

Gesamte Teilchenzahl:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=\sum \limits _{j}^{}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \approx \left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({{E}_{j}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}=\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\&{\frac {{p}^{2}}{2mkT}}=y\\&\Rightarrow {\bar {N}}=\sum \limits _{j}^{}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \approx \left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\&={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{{{\xi }^{-1}}\exp \left(y\right)-1}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\approx \xi \int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-2y}}+....\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-2y}}={\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\sqrt {\pi }}\\&\Rightarrow {\bar {N}}\approx {\frac {\left(2s+1\right)}{4}}{\frac {4V}{{h}^{3}}}{{\left(2\pi mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\left[\xi +{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{{\xi }^{2}}\right]\\&\lambda :={{\left({\frac {{h}^{2}}{2\pi mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}={{\left({\frac {2s+1}{{N}_{C}}}\right)}^{\frac {1}{3}}}\\&\Rightarrow {\bar {N}}\approx \left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}\xi \left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}\xi \right]=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\right]\\\end{aligned}}$

Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde. Auch hier:

$\Delta {\bar {N}}=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}$

als Quantenkorrektur

Elimination von $\mu$ durch ${\bar {N}}$

0. Näherung:

${\bar {N}}=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}$

1. Näherung:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{\frac {{\bar {N}}{{\lambda }^{3}}}{V\left(2s+1\right)}}\right]\\&\Rightarrow {{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\approx {\frac {{\bar {N}}{{\lambda }^{3}}}{V\left(2s+1\right)}}\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{\frac {{\bar {N}}{{\lambda }^{3}}}{V\left(2s+1\right)}}\right]\\\end{aligned}}$

Innere Energie:

${\begin{aligned}&U=\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\frac {{p}^{2}}{2m}}{\exp \left({\frac {\left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\&{\frac {{p}^{2}}{2mkT}}=y\\&\Rightarrow U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{{\frac {3}{2}}kT}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\approx \xi \int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-2y}}+....\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{{e}^{-y}}={\frac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{{e}^{-2y}}={\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{2}}kTV{\frac {\left(2s+1\right)}{{h}^{3}}}{{\left(2\pi mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\left[\xi +{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{{\xi }^{2}}\right]\\&\lambda :={{\left({\frac {{h}^{2}}{2\pi mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}={{\left({\frac {2s+1}{{N}_{C}}}\right)}^{\frac {1}{3}}}\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{2}}\left(2s+1\right){\frac {VkT}{{\lambda }^{3}}}\xi \left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\xi \right]={\frac {3}{2}}\left(2s+1\right)kT{\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\right]\\\end{aligned}}$

Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:

${\begin{aligned}&U\approx {\frac {3}{2}}\left(2s+1\right){\frac {VkT}{{\lambda }^{3}}}\xi \left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\xi \right]={\frac {3}{2}}\left(2s+1\right)kT{\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\right]=\\&\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}\right]\\\end{aligned}}$

Mit der Quantenkorrektur

$\Delta U\approx -{\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}$

thermische Zustandsgleichung

$pV={\frac {2}{3}}U=kT{\bar {N}}\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}\right]$

Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur

$\Delta pV=-kT{\bar {N}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}$

verringert.

Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!

Bose- Einstein- Kondensation

Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)

Somit:

${\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle ={\frac {1}{{{\xi }^{-1}}-1}}={\frac {\xi }{1-\xi }}\\&\xi ={{e}^{\beta \mu }}\\\end{aligned}}$

Fugazität

Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für $\xi \approx 1$

$\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle \approx {\bar {N}}$

(alle Teilchen kondensieren im grundzustand)

Allgemein:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle +N{\acute {\ }}\\&N{\acute {\ }}=\sum \limits _{j>0}^{}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

1) Normale Phase:

$\xi ={{e}^{\beta \mu }}<<1$

$\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle$

ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

2) kondensierte Phase

$\xi \approx 1$

$N{\acute {\ }}=\sum \limits _{j>0}^{}{}{\frac {1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}}<<{\bar {N}}$

unabhängig von $\xi ={{e}^{\beta \mu }}$!

Kontinuierlicher Fall:

${\frac {N{\acute {\ }}}{V}}\approx \left(2s+1\right){\frac {2\pi }{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{{{e}^{y}}-1}}\approx \left(2s+1\right){{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac {1}{2}}}$

Vergl. S. 141

${\begin{aligned}&{\frac {N{\acute {\ }}}{V}}\approx \left(2s+1\right){\frac {2\pi }{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{{{e}^{y}}-1}}\approx \left(2s+1\right){{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac {1}{2}}}\\&{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac {1}{2}}}=1\\&{{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}={{\lambda }^{-3}}\\\end{aligned}}$

Dabei ist dies der nicht kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!

${\begin{aligned}&{\frac {N{\acute {\ }}}{V}}={\frac {\left(2s+1\right)}{{\lambda }^{3}}}{\tilde {\ }}{{T}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow {\frac {N{\acute {\ }}}{\bar {N}}}={{\left({\frac {T}{{T}_{C}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\\end{aligned}}$

Die kritische Temperatur ist definiert durch ${\frac {V}{\bar {N}}}{\frac {\left(2s+1\right)}{\lambda {{\left({{T}_{C}}\right)}^{3}}}}=!=1$

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Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:

${\begin{aligned}&{\frac {\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle }{\bar {N}}}=1-{{\left({\frac {T}{{T}_{C}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad T<{{T}_{C}}\\&{\frac {\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle }{\bar {N}}}=0\quad f{\ddot {u}}r\quad T>{{T}_{C}}\\\end{aligned}}$

Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!

Phasenübegang bei ${{T}_{C}}$: normale Phase - >Kondensierte Phase Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation è ein makroskopisches Quantenphänomen!

Anwendung:

Die suprafluide Phase von $^{4}He$ bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!