Das Photonengas im Strahlungshohlraum

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das Photonengas im Strahlungshohlraum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega \left(q\right)t\right)}}\\&{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)={{\bar {B}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega \left(q\right)t\right)}}\\\end{aligned}}$

Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung!

Mit:

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{0}}{{\bar {B}}_{0}}=0\\&{\bar {q}}{{\bar {E}}_{0}}={\bar {q}}{{\bar {B}}_{0}}=0\\&{\text{und}}\\&\omega (q)=c\left|{\bar {q}}\right|\\\end{aligned}}$

Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander!

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes: 

betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz $\omega (q)=c\left|{\bar {q}}\right|$

→${\begin{aligned}&{{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left({{n}_{q}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&q=1,2,3,....\\\end{aligned}}$

Interpretation von n_q als Zahl der Schwingungsquanten{{#set:Fachbegriff=Schwingungsquanten|Index=Schwingungsquanten}} oder Photonen{{#set:Fachbegriff=Photonen|Index=Photonen}} mit der Energie $\hbar \omega (q).$ und mit dem Impuls $\hbar {\bar {q}}$!

Photonen sind Bosonen (da n_q=0,1,2,3,4,5,.... möglich!)

mit Spin S=1.

Aber:

Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände!, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:

linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation! der klassischen elektromagnetischen Welle!

Bei linkszirkularer Polarisation gilt:

${\bar {S}}\uparrow \downarrow {\bar {q}}$

Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:

${\bar {S}}\uparrow \uparrow {\bar {q}}$

Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine "longitudinalen" Photonen gibt! (longitudinale Wellen!)

Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 (Ruhemasse)=0

Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ("Hohlraumstrahlung{{#set:Fachbegriff=Hohlraumstrahlung|Index=Hohlraumstrahlung}}") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert!

Ihre Anzahl ${\bar {N}}$ ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung!

-> kanonisches Ensemble!

Formal:

Setze $\mu =0$ in der Boseverteilung (chemisches Potenzial{{#set:Fachbegriff=chemisches Potenzial|Index=chemisches Potenzial}} verschwindet)

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{kT}}\right)-1}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}\left\langle {{N}_{q}}\right\rangle \\&U=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}{\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{kT}}\right)-1}}\\\end{aligned}}$

Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen!

Übergang zum Quasi- Kontinuum!

${\begin{aligned}&2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}->{\frac {2V}{{h}^{3}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}\left(\hbar {\bar {q}}\right)={\frac {8\pi V}{{\left(2\pi \right)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dq{{q}^{2}}={\frac {8\pi V}{{{\left(2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}}\int _{0}^{\infty }{}d\omega {{\omega }^{2}}\\&\omega =cq\\&\omega =2\pi \nu \\&\Rightarrow {\frac {8\pi V}{{{\left(2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}}\int _{0}^{\infty }{}d\omega {{\omega }^{2}}={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {{\nu }^{2}}\\\end{aligned}}$

Zustandsdichte der Photonen

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}\left\langle {{N}_{q}}\right\rangle \\&\Rightarrow {\bar {N}}={\frac {8\pi V}{{{\left(2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}}\int _{0}^{\infty }{}d\omega {{\omega }^{2}}\left\langle N(\omega )\right\rangle ={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&{\bar {N}}:=\int _{0}^{\infty }{}d\nu D\left(\nu \right)\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&\Rightarrow D\left(\nu \right)={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}\\&{\bar {N}}={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }{}d\nu D\left(\nu \right)\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&U=\int _{0}^{\infty }{}d\nu D\left(\nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte{{#set:Fachbegriff=spektralen Energiedichte|Index=spektralen Energiedichte}}, die

Plancksche Strahlungsformel $u\left(\nu ,T\right):={\frac {1}{V}}D\left(\nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle ={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}-1}}$

{{#set:Gleichung=Plancksche Strahlungsformel|Index=Plancksche Strahlungsformel}}

Grenzfälle

${\begin{aligned}&h\nu <<kT\\&u\left(\nu ,T\right)\cong {\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{\frac {h\nu }{kT}}}={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT\\\end{aligned}}$

klassisches Resultat, Rayleigh- Jeans- Gesetz richtig für $\nu \to 0$ ,

aber: Infrarot- Katastrophe!

${\begin{aligned}&h\nu >>kT\\&u\left(\nu ,T\right)\cong {\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}}={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\\\end{aligned}}$

W. Wien: empirisches Resultat für $\nu \to \infty$!

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne!

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel (1900):

Postulat:

Strahlungsenergie gequantelt gemäß ${{E}_{n}}=nh\nu$

in Zustandssumme!

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper (also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären!

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren!

• historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik!!

Maximum der spektralen Energiedichte für

${\begin{aligned}&h\nu >>kT\\&{\frac {\partial u\left(\nu ,T\right)}{\partial \nu }}=0={\frac {\partial }{\partial \nu }}{\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}}={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left({{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}\left(3{{\nu }^{2}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}-{\frac {h}{kT}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)\\&\Rightarrow 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}={\frac {h}{kT}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\\&\Rightarrow {\frac {3kT}{h}}={{\nu }_{\max .}}\\\end{aligned}}$

Wiensches Verschiebungsgesetz

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:

Gesamtenergie

Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:

${\begin{aligned}&U\left(T\right):=V\int _{}^{}{}d\nu {\frac {1}{V}}D\left(\nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle ={\frac {8\pi hV}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {\frac {{\nu }^{3}}{{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}-1}}\\&={\frac {8\pi V}{{\left(ch\right)}^{3}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}\\&\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}={\frac {{\pi }^{4}}{15}}\\&U\left(T\right)={\frac {8{{\pi }^{5}}V}{15{{\left(ch\right)}^{3}}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\\\end{aligned}}$

Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums!

Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:

Wärmekapazität:

${{C}_{V}}={{\left({\frac {\partial U\left(T\right)}{\partial T}}\right)}_{V}}={\frac {32{{\pi }^{5}}V}{15{{\left(ch\right)}^{3}}}}{{k}^{4}}{{T}^{3}}$

Strahlungsdruck im Hohlraum

Aus

$p=-{{\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)}_{T}}$

folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:

${\begin{aligned}&F=-kT\ln Z=kT\sum \limits _{\nu }^{}{}\ln \left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)\\&p=kT{{\left({\frac {\partial }{\partial V}}\ln Z\right)}_{T}}=-kT\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {{\frac {h}{kT}}\left({\frac {\partial \nu }{\partial V}}\right){{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:

${\begin{aligned}&\nu ={\frac {c}{\lambda }}{\tilde {\ }}{{V}^{-{\frac {1}{3}}}}\\&{\frac {\partial \nu }{\partial V}}=-{\frac {1}{3}}{\frac {\nu }{V}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&p=kT{{\left({\frac {\partial }{\partial V}}\ln Z\right)}_{T}}=-kT\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {{\frac {h}{kT}}\left({\frac {\partial \nu }{\partial V}}\right){{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}=kT\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {{\frac {h}{kT}}{\frac {\nu }{3V}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}={\frac {1}{3V}}\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {h\nu {{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}=\\&\Rightarrow p={\frac {1}{3V}}\sum \limits _{\nu }^{}{}h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&p={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}\\\end{aligned}}$

Der Strahlungsdruck!

Also:

$p\left(T\right)={\frac {8{{\pi }^{5}}}{45{{\left(ch\right)}^{3}}}}{{\left(kT\right)}^{4}}$

Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur!

Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:

Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen $2,5\cdot {{10}^{7}}$

bar Strahlungsdruck!:

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

(1917)

Einstein hatte den begriff "Photon{{#set:Fachbegriff=Photon|Index=Photon}}" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt{{#set:Fachbegriff=Photoeffekt|Index=Photoeffekt}} entwickelt. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können, indem sie Photonen der Energie $h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}$ absorbieren oder emittieren!

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus (Fermionen):

${\begin{aligned}&{\frac {\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle }{\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle }}={\frac {{{g}_{2}}P({{E}_{2}})}{{{g}_{1}}P({{E}_{1}})}}={\frac {{{g}_{2}}{{e}^{-\beta {{E}_{2}}}}}{{{g}_{1}}{{e}^{-\beta {{E}_{1}}}}}}={\frac {{g}_{2}}{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta \left({{E}_{2}}-{{E}_{1}}\right)}}={\frac {{g}_{2}}{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta h\nu }}\\&h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}\\\end{aligned}}$

Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:

$P({{E}_{i}})={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}$

Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

Ansatz für die Raten{{#set:Fachbegriff=Raten|Index=Raten}} (= Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

1) Absorption{{#set:Fachbegriff=Absorption|Index=Absorption}}: ${{E}_{1}}\to {{E}_{2}}$

mit der Photonenzahl u:

Absorptionsrate{{#set:Fachbegriff=Absorptionsrate|Index=Absorptionsrate}}: ${{E}_{1}}\to {{E}_{2}}$

${{B}_{12}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle$

2) Spontane Emission{{#set:Fachbegriff=Spontane Emission|Index=Spontane Emission}}:

Emissionsrate{{#set:Fachbegriff=Emissionsrate|Index=Emissionsrate}}: ${{E}_{2}}\to {{E}_{1}}$

${{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle$

Man erhält als mittlere Lebensdauer{{#set:Fachbegriff=mittlere Lebensdauer|Index=mittlere Lebensdauer}} eines Anregungszustandes: ${\frac {1}{\tau }}={{A}_{21}}$

3) Induzierte Emission{{#set:Fachbegriff=Induzierte Emission|Index=Induzierte Emission}}:

Emissionsrate{{#set:Fachbegriff=Emissionsrate|Index=Emissionsrate}}: ${{E}_{2}}\to {{E}_{1}}$

${{B}_{21}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle$

Diese wurde von Einstein neu eingeführt!

• Grundlage der Maser (1954) und Laser (1961)

Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz{{#set:Fachbegriff=chemischen Massenwirkungsgesetz|Index=chemischen Massenwirkungsgesetz}} (Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung{{#set:Fachbegriff=Bilanzgleichung|Index=Bilanzgleichung}} mit den "Einstein- Koeffizienten{{#set:Fachbegriff=Einstein- Koeffizienten|Index=Einstein- Koeffizienten}}" B12, A21 und B21:

${\begin{aligned}&{{B}_{12}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle ={{B}_{21}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle +{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle \\&\Rightarrow u\left(\nu ,T\right)={\frac {{A}_{21}}{{{B}_{12}}{\frac {\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle }{\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle }}-{{B}_{21}}}}={\frac {{A}_{21}}{{{B}_{12}}{\frac {{g}_{1}}{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}}\\\end{aligned}}$

Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz{{#set:Fachbegriff=Plancksche Strahlungsgesetz|Index=Plancksche Strahlungsgesetz}} kommt man über 2 zusätzliche Postulate:

${\begin{matrix}\lim \\T->\infty \\\end{matrix}}u\left(\nu ,T\right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}{\frac {{g}_{1}}{{g}_{2}}}={{B}_{21}}$

Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form

$u\left(\nu ,T\right)={\frac {{A}_{21}}{{{B}_{12}}{\frac {{g}_{1}}{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}}={\frac {a}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}}$

schreiben können. Die Bose-Einstein-Verteilung{{#set:Fachbegriff=Bose-Einstein-Verteilung|Index=Bose-Einstein-Verteilung}} ist also bereits herausgekommen!

${\begin{aligned}&kT>>h\nu \Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\T->\infty \\\end{matrix}}u\left(\nu ,T\right)={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT\\&\Rightarrow a={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}\\\end{aligned}}$

das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh-Jeans-Gesetz{{#set:Fachbegriff=Rayleigh-Jeans-Gesetz|Index=Rayleigh-Jeans-Gesetz}} übergehen!

Damit gewinnt man den Faktor a!

$u\left(\nu ,T\right)={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}{\frac {1}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}}$

{{#set:Gleichung=Plancksches Strahlungsgesetz|Index=Plancksches Strahlungsgesetz}}

Verallgemeinerung

kann auf Elektronensysteme im Nichtgleichgewicht geschehen!

Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial{{#set:Fachbegriff=effektivem chemischem Potenzial|Index=effektivem chemischem Potenzial}} $\mu \neq 0$

Anwendung: Laser!