Alpha-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Alpha-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 11.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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• Warum nicht p, n, d-, sondern α-Zerfall?

Grund

Die hohe Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} E_α = 28 MeV bewirkt, daß diese Energie besonders für schwere Kerne (ab ca. 200U) oft größer ist als die Ablösearbeit{{#set:Fachbegriff=Ablösearbeit|Index=Ablösearbeit}} von 2 Protonen und 2 Neutronen,

so daß $\alpha$-Zerfall energetisch möglich wird.

• Warum nicht spontaner Zerfall in für Kernreaktionen typischen Zeiten von 10^-21 s?

Grund

Coulombbarriere, Tunneleffekt

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$_{84}^{208}{\text{Po: }}R[{{10}^{-15}}m]=1,2\left({\sqrt[{3}]{204}}+{\sqrt[{3}]{4}}\right)=1,2\left(5,9+1,6\right)\approx 9$ ${{V}_{C}}[MeV]\approx 1,5{\frac {2\times 82}{9}}\approx 27$

Tunneleffekt{{#set:Fachbegriff=Tunneleffekt|Index=Tunneleffekt}} (Gamow): "Überspringen der Barriere wegen Energieunschärfe{{#set:Fachbegriff=Energieunschärfe|Index=Energieunschärfe}}relation $\Delta E\Delta t\approx \hbar$". Vereinfacht mit Rechteckbarriere:

$\alpha$-Zerfall vereinfachte Darstellung durch Rechteckbarriere

Anpassung der Wellenfunktionen und ihrer Ableitungen an den beiden Sprungstellen ergibt 4 Bestimmungsgleichungen für die 5 Amplituden A, B, C, D, F (A Normierung).

Transmission ${\text{T=}}{\frac {|F{{|}^{2}}}{|A{{|}^{2}}}}{\underset {\text{Rechnung}}{\mathop {\text{=}} }}\,{{{\text{ }}\!\![\!\!{\text{ 1 +}}{\frac {V_{c}^{2}\left({{e}^{Kd}}-{{e}^{-Kd}}\right)}{16E\left({{V}_{0}}-E\right)}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}}^{-1}}$

Für "dicke" Barriere Kd >> 1 ist e^Kd der beherrschende Faktor, d.h. $T\approx e^{-2Kd}$. Für allgemeinen Potentialverlauf: $T\approx e^{-2G}$ mit Gamowfaktor{{#set:Fachbegriff=Gamowfaktor|Index=Gamowfaktor}} $G=\int Kdr$, z. B. für Coulombpotential{{#set:Fachbegriff=Coulombpotential|Index=Coulombpotential}} ist der Gamowfaktor in mathematisch geschlossener Form angebbar und tabelliert.

ANMERKUNG Schubotz: Vorgerechnet in $G={\sqrt {\frac {2m}{\hbar Q}}}{\frac {ZZ'e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\underbrace {\left[\arccos {\sqrt {\frac {Q}{B}}}-{\sqrt {{\frac {Q}{B}}(1-{\frac {Q}{B}})}}\right]} _{Q\ll B\to \sim {\frac {\pi }{2}}}$

Somit Übergangswahrscheinlichkeit A für α-Zerfall:

$\lambda =\lambda _{0}e^{-2G}$

mit $\lambda _{0}$ "Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines a-Teilchens mal Zahl der Stößels gegen Potentialwall"

Zahl der Stöße $\approx {\frac {v}{R}}\approx {\frac {{{10}^{7}}m/s}{{10}^{-14}}}\approx {{10}^{21}}{{s}^{-1}}$

Experimentell ${{\lambda }_{0}}\approx {{10}^{18}}-{{10}^{19}}{{s}^{-1}}$

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

• siehe lok. Maximum bei He in Darstellung der Bethe-Weizäcker Formel für E_B/A
• Extraktion eines Schweren Kerns unwahrscheinlicher als durch Gamow-Faktor auszurechnen da sich mehr Nukleonen im Kerninneren zu einem gebilde mit passendem (N,Z) formieren müssen
  • Z geht exponentiell in Wahrscheinlichkeit ein
  • Experiment $^{14}C$ 10 counts in einem halben Jahr
• Q-Wert Höhe des präformierten $\alpha$ Teilches über dem Grudniveau des Potetntialtopfes

Prüfungsfragen

Frage zum $\alpha$-Zerfall (Gamow-Faktor mit Abhängikeiten). (Prof. Kanngießer)