- Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik
→ gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten
- Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
- Lösungen Trajektorien im Phasenraum
Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung
→ gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen
→ Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen
mit
![{\displaystyle \left\langle {{M}^{\nu }}\right\rangle =\int {d\xi \rho \left(\xi \right){{M}^{\nu }}\left(\xi \right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec670e386949bb2c1014fde318a1b2acae99afca)
(thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen
mit ![{\displaystyle z={{\operatorname {e} }^{-\psi }}=\int {{{e}^{-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left(\xi \right)}}d\xi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73511a981e127edb1d7604bf40d158c3a83eeec)
mit 1 Nebendbedingung
führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters
zu
![{\displaystyle I\left(P\right)=\sum {{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}+\lambda \left({{P}_{i}}-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627f6fbfc68fda87698ec730f7612f91be52fed5)
die Variation, also
lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen
![{\displaystyle \left(\ln {{P}_{i}}\right)=-\left(\lambda +1\right)={\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d320024a9594a52ffcfbf3ccd4f6e8bbe1dda115)
so erhält man wegen der Normierung (
) die
Gleichverteilung
![{\displaystyle I\left(P\right)=\sum \limits _{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum \limits _{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left(\psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu }\right)}=\psi \underbrace {\sum \limits _{i}{{P}_{i}}} _{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum \limits _{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4bdc6d3d76c98b7050d39b4e7914d1432f302b)
![{\displaystyle \to dI=-{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09425ac42646cc9b9ef5d3929353c3762530794)
- Informationsgewinn
![{\displaystyle K\left(P,P'\right)=\sum {{{P}_{i}}\ln {\frac {{P}_{i}}{{{P}_{i}}'}}}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0d8c55ca808f80885e3628ea08ec863cb1b0a7)
- Minium Variation mit NB:
- Informationsgewinn ^= Änderung der Shannon Information
- Mit Dichtematrix
![{\displaystyle K\left(\rho ,{{\rho }^{0}}\right)=\operatorname {Tr} \left({\hat {\rho }}\ln {\frac {\hat {\rho }}{{\hat {\rho }}^{0}}}\right)=\operatorname {Tr} \left({\hat {\rho }}\left(\ln {\hat {\rho }}-\ln {{\hat {\rho }}^{0}}\right)\right)=I\left({\hat {\rho }}\right)-I\left({{\hat {\rho }}^{0}}\right)-\operatorname {Tr} \left({\hat {\rho }}-{{\hat {\rho }}^{0}}\right)\ln \left({{\hat {\rho }}^{0}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508684cd83fd3a7d07a7a918dc9f0393a7af5867)
- Für Druckensemble
und
nicht im Gleichgewichtszustand folgt ![{\displaystyle K\left(\rho ,{{\rho }^{0}}\right)={\frac {S-{{S}^{0}}}{{T}^{0}}}+{\frac {U-{{U}^{0}}+{{p}^{0}}\left(V-{{V}^{0}}\right)}{k{{T}^{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f052bd42ac82658e880a0a8b1f190fb8092e51)
- mit Energie
![{\displaystyle K\left(\rho ,{{\rho }^{0}}\right)={\frac {\Lambda }{k{{T}^{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7be58e93bca0a3f9fcb97b5cffa3a9a445bf37a)
- der Informationsgewinn kann nur abnehmen
mit ![{\displaystyle \nu =-{\frac {1}{T}}{{d}_{t}}\Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5094dcdeca54c9be86d750ea9b5c902bdab391cf)
- → die Entropieproduktion ist ststs
![{\displaystyle \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da05245eb4e91f2f05daa9f0c42fd48975f9a690)
Phänomenologische Thermodynamik[edit | edit source]