Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die
![{\displaystyle {{p}_{k}},{{q}_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69ecd2f006e967f4c304c7b414bce80031d3a2b)
gefunden werden.
Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für
![{\displaystyle {{q}_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100446035e8469a5692b30c13530de10ed4ae229)
aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:
Differenziale:
wegen ![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=p\\&\Rightarrow dH={\frac {\partial H}{\partial q}}dq+{\frac {\partial H}{\partial p}}dp+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt={\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial q}}dq-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a031c1db35aba4fc6d69d2c1061c069d870adf)
Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial H}{\partial q}}=-{\frac {\partial L}{\partial q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4977baaa73a4266475128552e6971f6a6bf7c096)
Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}};{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=p;{\frac {\partial L}{\partial q}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\&\Rightarrow {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7c952e2c67bec637e15b9674d26e2bacc93c3e)
Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.
Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\\&{{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\&H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{{{\dot {q}}_{k}}{{p}_{k}}-L}\\&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2828b2b8b7565d2cc39fbf9578b4bb6dcea298)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&dH=\sum \limits _{k}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}+{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}d{{p}_{k}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum \limits _{k}{{{\dot {q}}_{k}}d{{p}_{k}}}+\sum \limits _{k}{{{p}_{k}}d{{\dot {q}}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}d{{\dot {q}}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}\\&=\sum \limits _{k}{{{\dot {q}}_{k}}d{{p}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}\\&\Rightarrow {\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{{p}_{k}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}};{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de2e46674950bcfe09576429a30ef8e77d5e298)
Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62963a4f138b7ce4eb66f897c9526ed0590133cb)
Der 2f- dimensionale Raum
![{\displaystyle \Gamma :=\left\{{{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1701efcff29fc799492a26f62c6e6bc50d50a87)
heißt Phasenraum.
Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.
Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion[edit | edit source]
- wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
- und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V
Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):
mit
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und{\frac {\partial }{\partial t}}L=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b087a9e90a6223e657d0a839700de93b7c7da50)
Dann nämlich ist
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}=2T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f89d8f77362c4a7eab8f7c146b1cb6a802f911)
(nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der
.
Somit:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L=\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57290e05d1a3fd26d60eb375c75682a50520727f)
beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!
Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz
folgt dann Gesamtenergieerhaltung.
Dies läßt sich leicht nachweisen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dH}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L\right)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}{{\dot {p}}_{k}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}-{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}=0\\&wegen{\frac {\partial L}{\partial t}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf29f764bcae14daacbbc998c6d5297e5ab119aa)
Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!
Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:[edit | edit source]
Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:
Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit
.
Aus
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d88af6c2348ce766a093ef26b0b3b2dc2f4bc98)
folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.
Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:[edit | edit source]
- Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
![{\displaystyle {\bar {q}}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2531e87aa8ece4aabfe3ba50d264a0d15ae691bb)
- Transformation des Radiusvektors
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\\&{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={{\dot {\bar {r}}}_{i}}({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5df1fcea10e4ba64e839290e8815670f909b74)
- Aufstellung der Lagrangegleichung:
![{\displaystyle L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)=T-V={\frac {1}{2}}m\sum \limits _{i}{{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}-V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c359d8af906ca6a9dc316eb692dae697d492a9)
- Bestimmung der generalisierten Impulse:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\Rightarrow {{p}_{k}}={{p}_{k}}({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)\\&Umkehrung:{{\dot {q}}_{k}}={{\dot {q}}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bffdf7b6529ae0c97c127dd30ed2f2e98788e63)
- Anschließend Legendre Trafo:
![{\displaystyle H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{{{\dot {q}}_{k}}{{p}_{k}}-L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50390013b41332ef12d36163ea2c0ce2a6d606f9)
- Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62963a4f138b7ce4eb66f897c9526ed0590133cb)
Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen[edit | edit source]
- q1=3, q2=Phi, q3 = z
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \phi ,{\dot {x}}={\dot {r}}\cos \phi -r{\dot {\phi }}\sin \phi \\&y=r\sin \phi ,{\dot {y}}={\dot {r}}\sin \phi +r{\dot {\phi }}\cos \phi \\&z=z\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b6169dab69bdbe92f3ccea089eb15e93ac82c0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)\\&V=V(r,\phi ,z)\\&L=L(r,\phi ,z,{\dot {r}},{\dot {\phi }},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)-V\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a9fa503cffe6dd411b2cf770fd1c28acf503fd)
- Generalisierte Impulse:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\&{{p}_{r}}=m{\dot {r}}\\&{{p}_{\phi }}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}\\&{{p}_{z}}=m{\dot {z}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5b248a8c7d2ec2445315cb9062f4ecf257eca7)
Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
- Aufstellung der Legendretrafo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&H=m{{\dot {r}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+m{{\dot {z}}^{2}}={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)+V\\&H={\frac {1}{2m}}\left({{p}_{r}}^{2}+{\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{{r}^{2}}}+{{p}_{z}}^{2}\right)+V(r,\phi ,z)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c494b2894ce2fbc8fdcb667fcb7c5f7c1e9fa0)
- Kanonische Gleichungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\&{\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{r}}}}={\frac {{p}_{r}}{m}},{\dot {\phi }}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}}={\frac {{p}_{\phi }}{m{{r}^{2}}}},{\dot {z}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{z}}}}={\frac {{p}_{z}}{m}}\\&{{\dot {p}}_{r}}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}-{\frac {\partial V}{\partial r}},{{\dot {p}}_{\phi }}=-{\frac {\partial H}{\partial \phi }}=-{\frac {\partial V}{\partial \phi }},{{\dot {p}}_{z}}=-{\frac {\partial H}{\partial z}}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08675b9329efe61a65f6a5aa6e28d4dcfa2add8d)
Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):
F(Zentrifugal)=
,
die den radialen Impuls ändert.
Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:
![{\displaystyle {{\dot {p}}_{r}}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}-{\frac {\partial V}{\partial r}},{{\dot {p}}_{\phi }}=0,{{\dot {p}}_{z}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4705eca24e86409ba6b0c54cdc5004d87eb483)
Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.
![{\displaystyle z,\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3a04bfebf5c598fa8a9129d04f2c8afa798f0b)
sind zyklische Variablen
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{p}_{z}}=const.=o.B.d.A.=0\\&{{p}_{\phi }}=const.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d6ce5236b799d865afc23cbf5c48985b182305)
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:[edit | edit source]
Das System ist skleronom wegen
,
also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({{\dot {q}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}}\right)=E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {{p}^{2}}{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}}\right)\Rightarrow {\frac {{p}^{2}}{2mE}}+{\frac {{q}^{2}}{\left({\frac {2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}\right)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cd0155f6f147f67b2acf0173f52f8c985704e6)
Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:
Die Halbachsen sind:
![{\displaystyle a={\sqrt {2mE}},b={\sqrt {\frac {2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce48d70910d85cea6f6557dc71e99977ba8007b)
(bestimmt durch 1. Integral).
Als kanonische Gleichungen ergibt sich:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q\\&{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c31c0face631364f003a8ba68115b76e877f953)
Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\ddot {q}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\dot {p}}{{\acute {\ }}m}}=-{{\omega }_{o}}^{2}q\\&{\ddot {q}}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fefb707fe036197a8267319def74e44eb6d6d6f)
Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:[edit | edit source]
Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:
![{\displaystyle L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)=T-V={\frac {1}{2}}m\sum \limits _{i}{{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}-V={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}({\bar {q}},t)-\Phi ({\bar {q}},t)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df91a3c25e12b3fe6e3d0c3491c2a6a8d1bca2c)
die kanonischen konjugierten Impulse lauten:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{{\acute {\ }}k}}+e{{A}_{k}}({\bar {q}},t)\\&\Rightarrow {{\dot {q}}_{k}}={\frac {1}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)\\&H=\sum \limits _{k=1}^{3}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}-L=\sum \limits _{k=1}^{3}{{p}_{k}}{\frac {1}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)-{\frac {1}{2m}}\sum \limits _{k=1}^{3}{}{{\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)}^{2}}-\sum \limits _{k=1}^{3}{}{\frac {e}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right){{A}_{k}}+e\Phi \\&H\left({\bar {q}},{\bar {p}},t\right)={\frac {1}{2m}}{{\left({{\bar {p}}_{}}-e{\bar {A}}{{({\bar {q}},t)}_{}}\right)}^{2}}+e\Phi ({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037d99c06957e8b897dba3091d9552d1a7b03b4b)
Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich
![{\displaystyle m{\dot {\bar {q}}}={\bar {p}}-e{\bar {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd687f5e9eceaf5f9b82de1196efdefa9778ad06)
als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).
![{\displaystyle {{p}_{k}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1c1ff5d86a47cc47f280a9375711697df1ef55)
ist kanonischer Impuls