Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}}
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Motivation:
(
< Eintreffen des Feldes
) bestimmen, hier formulieren wir das so allgemein, dass später Theorie auch für eine Abfolge von
's, also
) bei eingeschaltetem Feld gilt.
Unschärfemaß des statistischen Operators[edit | edit source]
Problem
sei Satz von Observablen (z.B N,E eines Gases)
(
bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um
zu finden
- → Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus!
Definition des Unschäfremaßes[edit | edit source]
![{\displaystyle \eta \left(\rho \right)=-k\operatorname {Tr} \left(\rho \ln \rho \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6851d13301517b8fe942c282cb9c09eba2325bcd)
(Funktional von
(analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946)
Ist das sinnvoll?
sollte positiv sein, um Maß für Unschärfe zu ergeben
solte 0 sein für einen reinen Zustand
sollte
sein für einen komplett unbestimmten Zustand
ist zu zeigen:'
- 1)
![{\displaystyle \eta \left({\hat {\rho }}\right)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8915fcca6928e4bcb8acdc75150aa41a978c3e)
als Eigenwertgleichung für
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\eta \left(\rho \right)=-k\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho )=-k\sum \limits _{m}^{}{\left\langle {{r}_{m}}\right|\rho \ln \rho \left|{{r}_{m}}\right\rangle }=-k\sum \limits _{m}^{}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}}\\&1\geq {{r}_{m}}\geq 0\\&\Rightarrow \ln {{r}_{m}}\leq 0\\&\Rightarrow \eta \left(\rho \right)\geq 0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b04ded0781b12444189ac4007646355f2645d08)
- 2) reiner Zustand →
![{\displaystyle \eta \left(\rho \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db62c52a419705f0ca7da124b61536f27bba6d6a)
- mit
![{\displaystyle {{\rho }_{0}}=\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7625982c20233f65e8c6578bad3f6fa8eb95adb3)
ist der reine Zustand
Eigenwertproblem
![{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}}|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84d4a60f3286aeb855519c0b6f30068082b1cce)
erfüllt für
![{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle =\left|r\right\rangle ,r=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1a3b37f2cd2d9c2c6f5e672933c38c2fa7ad16)
![{\displaystyle \eta \left({{\rho }_{0}}\right)=-k\sum \limits _{m}^{}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}}=-k1\ln 1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b383e16b07a099e45a7ac0a0946201b65a00b858)
- 3) völlige Unbestimmtheit
- betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll
wie z.B in richtigem Kasten)
![{\displaystyle {{w}_{i}}={\frac {1}{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc73ee64fbc9231f56e6c86f407db83fc474770f)
die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel)
![{\displaystyle \rho =\sum \limits _{i}{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|={\frac {1}{d}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabfb48f747daa954d343bc6351f29fd89c06aca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\eta \left({{\rho }_{d}}\right)=-k\sum \limits _{i=1}^{d}{\left\langle i\right|}{\frac {1}{d}}\ln {\frac {1}{d}}\left|i\right\rangle \\&=k\sum \limits _{i=1}^{d}{{\frac {1}{d}}\ln {\frac {1}{d}}}=k\ln {\frac {1}{d}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ddcb19abb55eb41c045fb934e39a6cad45cf6c)
für
folgt
alle Grenywerte sind sinnvoll, damit
![{\displaystyle \eta \left(\rho \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad3926b12b2239d035eb445e8f03a312f15bcbc)
ein sinnvolles Unschärfemaß
![{\displaystyle \forall \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560288f1d700f44e2767b23d468675a71cda2bfd)
ist.
Jetzt können wir
nehmen um
![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
zu bestimmen.
Der generalisierte statistische Operator[edit | edit source]
Wollen nun aus
![{\displaystyle \eta \left(\rho \right)\to \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0f0026f1e8c896b1f8602b26436b3b21df083b)
sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen
![{\displaystyle \left\{{{G}_{\nu }}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66e095d11dc9096bb31d29a385a71fa97cf18ae)
(Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft:
→ wir maximieren
also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von
“vorurteilsfrei“.
Nebenbedingung:
![{\displaystyle \left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho {{G}_{\nu }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edbe732761640f54788a767a484efac508b697f)
z.B E, N
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\rho \right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce15263ba6583607062adbef512735b03bd021dd)
Ergebnis bevor es bewiesen wird:
{{#set:Definition=generalisierter kanonischer statistischer Operator|Index=generalisierter kanonischer statistischer Operator}}
{{#set:Definition=Zustandssumme|Index=Zustandssumme}}
es tauchen Lagrangefaktoren
auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern
noch unbestimmt: Beispiel
![{\displaystyle G_{1}=H,R~e^{\frac {H}{kT}},\lambda _{1}={\frac {1}{kT}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a68ce496453bac4054f65eb70a11e4f1b048952)
Bedeutung der Zustandssumme
![{\displaystyle \left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle =-{\frac {1}{z}}{\frac {\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df93ddbaa5e4bc161df0265a7fc28c71c2e2e55c)
bestimmen die Messgrößen (
)
aus
![{\displaystyle \left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left({{G}_{\nu }}{\frac {{e}^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}{Z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1cf657b98ec07616a3389fe1145a1b7f59e579)
liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von
die Dichtematrixgleichungen gelöst werden.
(in 3 Schritten)
a) Unschärfemaß für R ableiten:
![{\displaystyle R={\frac {1}{Z}}{{e}^{-\sum \limits _{\nu }^{}{}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}},\quad \ln R=-\sum \limits _{\nu }^{}{}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-\ln Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0472440615a82402a752f586d9e486230a15b62)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\eta \left(R\right)=-k\operatorname {Tr} \left(R\ln R\right)=-k\operatorname {Tr} \left(-R\sum \limits _{\nu }^{}{}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-R\ln Z\right)\\&=-k\sum \limits _{\nu }^{}{}{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle +k\ln Z\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56de52c3173d92ae9c0d9338ed7ced5f8921dbb9)
Idee des Beweises: wir nehmen einen beliebigen statistischen Operator
und zeigen
b)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\rho \ln R\right)\underbrace {=} _{\text{ansehen}}-\sum \limits _{\nu }^{}{}{{\lambda }_{\nu }}\underbrace {\operatorname {Tr} \left(\rho {{G}_{\nu }}\right)} _{\operatorname {Tr} \left(R{{G}_{\nu }}\right)}-\ln Z\equiv \operatorname {Tr} \left(R\rho R\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d02558de87ca16388f2fe810e8ef21d1627728)
c)
spiegels später wieder was größer ist
nach b)
![{\displaystyle =tr\left(\rho \ln \rho \right)-tr\left(\rho \ln R\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74a057fdc24735cadb9d68a5ad0e0c6d3a836c0)
mit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left|{{r}_{m}}\right\rangle ={{r}_{m}}\left|{{r}_{m}}\right\rangle \\&R\left|{{w}_{n}}\right\rangle ={{w}_{n}}\left|{{w}_{n}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a035ade01a9ff95a6bd4346e50128adadcf4197)
folgt
![{\displaystyle =\sum \limits _{m}^{}{\underbrace {\left\langle {{r}_{m}}|{{r}_{m}}\right\rangle } _{1}}{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-\sum \limits _{m}^{}{}{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}}\right|\ln R\left|{{r}_{m}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b76ae06dc5cf42ed6be2179e9c410d2446c017)
![{\displaystyle \sum \limits _{n}^{}{}\left|{{w}_{n}}\right\rangle \left\langle {{w}_{n}}\right|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392813ee164b5da19621d92bb0e7eb814ce3ca96)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum \limits _{m,n}^{}{\left[\left\langle {{r}_{m}}|{{w}_{n}}\right\rangle \left\langle {{w}_{n}}|{{r}_{m}}\right\rangle {{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}}\right|\ln R\left|{{w}_{n}}\right\rangle \left\langle {{w}_{n}}|{{r}_{m}}\right\rangle \right]}\\&=\sum \limits _{m,n}^{}{\left[{{\left|\left\langle {{r}_{m}}|{{w}_{n}}\right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left(\ln {{r}_{m}}-\ln {{R}_{n}}\right)\right]}\\&=\sum \limits _{m,n}^{}{\left[{{\left|\left\langle {{r}_{m}}|{{w}_{n}}\right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left(-\ln {\frac {{R}_{n}}{{r}_{m}}}\right)\right]}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a56eb9afb2510225bcdb457aa36dcc449e9a6bd)
mit
folgt
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{m,n}^{}{\left[{{\left|\left\langle {{r}_{m}}|{{w}_{n}}\right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left(-\ln {\frac {{R}_{n}}{{r}_{m}}}\right)\right]}\geq \sum \limits _{m,n}^{}{\left[{{\left|\left\langle {{r}_{m}}|{{w}_{n}}\right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left(1-{\frac {{R}_{n}}{{r}_{m}}}\right)\right]}\\&=\sum \limits _{m,n}^{}{\left[{{\left|\left\langle {{r}_{m}}|{{w}_{n}}\right\rangle \right|}^{2}}\left({{r}_{m}}-{{R}_{n}}\right)\right]}=\sum \limits _{m}^{}{{r}_{m}}=\sum \limits _{n}^{}{{R}_{n}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923fff5c7ffdb8f0577726590f3a4ee06a54fe1b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\to \operatorname {Tr} \left(\rho \ln \rho \right)\geq \operatorname {Tr} \left(R\ln R\right)\quad |-k\\&\eta \left(\rho \right)\leq \eta \left(R\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbb4cc63dff6f21da0fc6c9fdbd964c433e9ef3)
R hat offensichtlich das maximale unschärfemaß f die vorgegebenen Nebenbedingungen
Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung[edit | edit source]
maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene
![{\displaystyle \left\{{{G}_{\nu }}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66e095d11dc9096bb31d29a385a71fa97cf18ae)
ist
![{\displaystyle \eta \left(R\right)=-k\operatorname {Tr} \left(R\ln R\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7698936af04dc315e5198ca647290a49e66107)
![{\displaystyle {{R}_{\left\{{{G}_{\nu }}\right\}}}\equiv R={\frac {1}{Z}}{{e}^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57bab0ebe389214fd6f18c4f7be898bb9cf7fe83)
Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene
wird mit
definiert.
Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen
(Gleiverteilung hatte größtes
).
Ziel der Entropiedefinition{{#set:Fachbegriff=Entropiedefinition|Index=Entropiedefinition}} ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt
und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc);
also Zustandsgleichungen aus Z berechnen.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&S=-k\operatorname {Tr} \left({\frac {1}{Z}}{{e}^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\ln \left({\frac {1}{Z}}{{e}^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\right)\right)\\&=-k\operatorname {Tr} \left({\frac {1}{Z}}{{e}^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\left(-\ln Z-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}\right)\right)\\&=\underbrace {k\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }} _{f\left({{\lambda }_{\nu }},\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle \right)}+\underbrace {k\ln Z} _{g\left({{\lambda }_{\nu }},{{G}_{\nu }}\left({{h}_{\alpha }}\right)\right)}\\&S=S\left(\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle ,{{h}_{\alpha }}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c7bd7764defcc271ebf4c0e79b34c5843f00c8)
z.B.
![{\displaystyle S=S\left(\left\langle H\right\rangle ,\left\langle N\right\rangle ,V\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5b714a53535cab23aec1011358a0487e6e2132)
dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet:
![{\displaystyle dS=k\sum \limits _{\nu }^{}{{\lambda }_{\nu }}\left(d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle -\sum \limits _{\alpha }{}\left\langle {{\partial }_{{h}_{\alpha }}}{{G}_{\nu }}\right\rangle d{{h}_{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8517b341857d63e9b7a93d274b11c9e896744a05)
Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von
Beweis gleich
Bmerkung zur Gibbsgleichung[edit | edit source]
Vergleich von
![{\displaystyle {\begin{aligned}&dS=k\sum \limits _{\nu }^{}{{\lambda }_{\nu }}\left(d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle -\sum \limits _{\alpha }{}{{M}_{\nu ,\alpha }}d{{h}_{\alpha }}\right)\\&dS=\sum \limits _{\nu }^{}{\frac {{\partial }_{S}}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }}\left(d\left\langle {{\bar {G}}_{\nu }}\right\rangle -\sum \limits _{\alpha }{\frac {\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5f2abb1fdbe6f61de621ac8ebeb2f317b68b58)
ergibt
- Lagrangefaktoren{{#set
- Fachbegriff=Lagrangefaktoren|Index=Lagrangefaktoren}} :
![{\displaystyle k{{\lambda }_{\nu }}={\frac {\partial S}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e63687e733f2038482911577c08ea837c50dd8)
- Zustandsgleichung{{#set
- Fachbegriff=Zustandsgleichung|Index=Zustandsgleichung}} :
![{\displaystyle \sum \limits _{\nu }^{}{k{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}}={\frac {\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ad4e4e9d55e371f59003e8f088a88c8f90647c)
Gibbsgleichung legt die Zustandsgleichungen fest und ist damit genauso fundamental wie die Maxwellgleichung der Elektrodynamik
z.B:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&S=k\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }+k\ln Z\\&dS=k\sum \limits _{\nu }{\left(d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle \right)}+k{\frac {dZ}{Z}}\\&=k\sum \limits _{\nu }{\left(d{{\lambda }_{\nu }}\left(-{\frac {\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}}{\frac {1}{z}}\right)+{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle \right)}+k{\frac {dZ}{Z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e363bad435670491c8b4337a0af0f82f3ba1f7d7)
mit Z arbeiten:
![{\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left({{\operatorname {e} }^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\right)=Z\left({{\lambda }_{\nu }},{{h}_{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fdd10301e5e7d7c981c091d8274fb6d47c9c73)
![{\displaystyle {{G}_{\nu }}={{G}_{0}}\left({{h}_{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd456bfb08278cf3ad3e3715aafd5ce29f3a5d7)
Das vollständige Differential von Z ist:
![{\displaystyle dZ=\sum \limits _{\nu }{{\frac {\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}}d{{\lambda }_{\nu }}+}\sum \limits _{\alpha }{{\frac {\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0fc9d0a0d896bfb76251fe3eb0b9afac96f0fd)
eingesetzt in dS:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&S=k\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }+k\ln Z\\&dS=k\sum \limits _{\nu }{\left(d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle \right)}+k{\frac {dZ}{Z}}\\&=k\underbrace {\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teil der}}\\{\text{Gibbsgleichung}}\end{smallmatrix}}+k\sum \limits _{\alpha }{{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }}}\\&k\sum \limits _{\alpha }{{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum \limits _{\alpha }{{\frac {1}{Z}}\operatorname {Tr} \left({\frac {\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}}{{\operatorname {e} }^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\right)d{{h}_{\alpha }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66692dd0fca062350e8d11a185d4a27db2c4d065)
Der Zweite Teil wird zu
![{\displaystyle {\begin{aligned}&k\sum \limits _{\alpha }{{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum \limits _{\alpha }{{\frac {1}{Z}}\operatorname {Tr} \left({\frac {\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}}{{\operatorname {e} }^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\right)d{{h}_{\alpha }}}\\&=k\sum \limits _{\alpha }{\operatorname {Tr} \left(-\sum \limits _{\nu }{{\lambda }_{\nu }}{\frac {\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}}}R\right)d{{h}_{\alpha }}}\\&=-k\sum \limits _{\alpha ,\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {\frac {\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}}}\right\rangle d{{h}_{\alpha }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5eadfe39a02edca9ba35b31716e7287bd5768ef)
→ergibt die Gibbsrelation
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