Symplektische Struktur des Phasenraums

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

$\overline{x}:=\left(\begin{array}{c}q\\ p\\ \end{array}\right)$

ist Vektor im Phasenraum

${H_{,}}_x:=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial q}\\ \frac{\partial H}{\partial p}\\ \end{array}\right)$

ist Ableitungsvektor

$J:=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)$

ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

$\dot{\overline{x}}:=J{H}_{,x}\iff -J\dot{\overline{x}}=H_{,x}\iff \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

Leicht läßt sich zeigen:

$\begin{array}{ll}& J^2=-1\\ & J^{-1}=J^T=-J\\ \end{array}$

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

$\begin{array}{ll}& \overline{x}:=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ...\\ q_f\\ p_1\\ ...\\ p_f\\ \end{array}\right)\\ & {\overline{H}}_x:=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial q_1}\\ ...\\ \frac{\partial H}{\partial q_f}\\ \frac{\partial H}{\partial p_1}\\ ...\\ \frac{\partial H}{\partial p_f}\\ \end{array}\right)J:=\left(\begin{array}{cc}0& 1_f\\ -1_f& 0\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Die kanonischen Gleichungen lauten

$\dot{\overline{x}}:=J{H}_x\iff -J\dot{\overline{x}}=H_x$

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

$\dot{\overline{x}}:=A\overline{x}=J{H}_x$

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

$H=\frac{1}{2}(a{q}^2+2bqp+c{p}^2)z.\mathbf{B}.a={{\omega }_0}^2,b=0,c=1$

$\Rightarrow \dot{\overline{x}}:=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial q}\\ \frac{\partial H}{\partial p}\\ \end{array}\right)=\begin{array}{c}bq+cp\\ -aq-bp\\ \end{array}$

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

$\begin{array}{ll}& A=\left(\begin{array}{cc}b& c\\ -a& -b\\ \end{array}\right)\\ & tr\left(A\right)=0\\ \end{array}$

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

$\begin{array}{ll}& M_1(\overline{q},\overline{Q},t):\\ & \Rightarrow p_j=\frac{\partial M_1}{\partial q_j}\\ & P_j=-\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}\\ & \Rightarrow \frac{\partial p_j}{\partial Q_k}=\frac{{\partial }^2{M}_1}{\partial Q_k\partial q_j}=-\frac{\partial P_k}{\partial q_j}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& M_2(\overline{q},\overline{P},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{j=1}^f\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}{Q}_j\\ & \Rightarrow p_j=\frac{\partial M_2}{\partial q_j}\\ & Q_j=\frac{\partial M_2}{\partial P_j}\\ & \Rightarrow \frac{\partial p_j}{\partial P_k}=\frac{{\partial }^2{M}_2}{\partial P_k\partial q_j}=\frac{\partial Q_k}{\partial q_j}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& M_3(\overline{p},\overline{Q},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{j=1}^f\frac{\partial M_1}{\partial q_j}{q}_j\\ & \Rightarrow q_j=\frac{\partial M_3}{\partial p_j}\\ & P_j=-\frac{\partial M_3}{\partial Q_j}\\ & \Rightarrow \frac{\partial q_j}{\partial Q_k}=-\frac{{\partial }^2{M}_3}{\partial Q_k\partial p_j}=\frac{\partial P_k}{\partial p_j}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& M_4(\overline{p},\overline{P},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{j=1}^f(\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}{Q}_j+\frac{\partial M_1}{\partial q_j}{q}_j)\\ & \Rightarrow q_j=-\frac{\partial M_4}{\partial p_j}\\ & Q_j=\frac{\partial M_1}{\partial P_j}=q_j\\ & \Rightarrow \frac{\partial q_j}{\partial P_k}=\frac{{\partial }^2{M}_1}{\partial P_k\partial p_j}=-\frac{\partial Q_k}{\partial p_j}\\ \end{array}$

Dabei sind:

$\overline{x}:=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ...\\ q_f\\ p_1\\ ...\\ p_f\\ \end{array}\right)\overline{y}:=\left(\begin{array}{c}{Q}_1\\ ...\\ Q_f\\ P_1\\ ...\\ P_f\\ \end{array}\right)$

$\begin{array}{ll}& M_{\alpha \beta }=\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial y_{\beta }}\\ & {\left(M^{-1}\right)}_{\alpha \beta }:=\frac{\partial y_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}\alpha ,\beta =1,...,2f\\ \end{array}$

Beweis:

$\sum _{\gamma =1}^{2f}{M}_{\alpha \gamma }{\left(M^{-1}\right)}_{\gamma \beta }=\sum _{\gamma =1}^{2f}\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial y_{\gamma }}\frac{\partial y_{\gamma }}{\partial x_{\beta }}=\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}={\delta }_{\alpha \beta }$

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

$M_{\alpha \beta }=\sum _{\mu ,\nu =1}^{2f}{J}_{\alpha \mu }{J}_{\beta \nu }{\left(M^{-1}\right)}_{\mu \nu }$

Beweis:

In Matrixform lautet diese Gleichung:

$M=J{\left(J{M}^{-1}\right)}^T$

Die linke Seite (M) lautet:

$M=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial q}{\partial Q}& \frac{\partial q}{\partial P}\\ \frac{\partial p}{\partial Q}& \frac{\partial p}{\partial P}\\ \end{array}\right)$

Die rechte Seite lautet:

$\begin{array}{ll}& J{\left(J{M}^{-1}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right){\left[\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial Q}{\partial q}& \frac{\partial Q}{\partial p}\\ \frac{\partial P}{\partial q}& \frac{\partial P}{\partial p}\\ \end{array}\right)\right]}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial P}{\partial q}& \frac{\partial P}{\partial p}\\ -\frac{\partial Q}{\partial q}& -\frac{\partial Q}{\partial p}\\ \end{array}\right)}^T\\ & =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{\left(\frac{\partial P}{\partial q}\right)}^T& -{\left(\frac{\partial Q}{\partial q}\right)}^T\\ {\left(\frac{\partial P}{\partial p}\right)}^T& -{\left(\frac{\partial Q}{\partial p}\right)}^T\\ \end{array}\right)}^{}=\left(\begin{array}{cc}{\left(\frac{\partial P}{\partial p}\right)}^T& -{\left(\frac{\partial Q}{\partial p}\right)}^T\\ -{\left(\frac{\partial P}{\partial q}\right)}^T& {\left(\frac{\partial Q}{\partial q}\right)}^T\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:

$\begin{array}{ll}& M=J{\left(J{M}^{-1}\right)}^T\\ & \Rightarrow JM=-{\left(J{M}^{-1}\right)}^T=-{\left(M^{-1}\right)}^T{J}^T\\ & \Rightarrow M^{T}JM=-M^T{\left(M^{-1}\right)}^T{J}^T=-{\left(M^{-1}M\right)}^T{J}^T=-J^T=J\\ & M^{T}JM=J\\ \end{array}$

Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:

$(\overline{x},\overline{y}):={\overline{x}}^{T}J\overline{y}=\sum _{i,k=1}^{2f}{x}_i{J}_{ik}{y}_k$

es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

1. Schiefsymmetrie:

$(\overline{x},\overline{y})=-(\overline{y},\overline{x})$,

Beweis: 

$(\overline{x},\overline{y})={\overline{x}}^{T}J\overline{y}={\left({\overline{y}}^T{J}^T\overline{x}\right)}^T=-{\overline{y}}^T{J}^{}\overline{x}=-(\overline{y},\overline{x})$

1. bilinear:

$(\overline{x},{\lambda }_1{\overline{y}}_1+{\lambda }_2{\overline{y}}_2)={\lambda }_1(\overline{x},{\overline{y}}_1)+{\lambda }_2(\overline{x},{\overline{y}}_2)$

1. nichtentartet:

$(\overline{x},\overline{y})=0\mathrm{\forall }\overline{y}\Rightarrow \overline{x}=0$

Nebenbemerkung: Es gilt:

$(\overline{x},\overline{x})=0\mathrm{\forall }\overline{x}$

Also Selbstorthogonalität

Beweis:

${\overline{x}}^{T}J\overline{x}=\left(\begin{array}{cc}q& p\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}q\\ p\\ \end{array}\right)=qp-pq=0$

Die Symplektische Struktur auf dem

$R^{2f}$

ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:

${(\overline{x},\overline{y})}_{Eu}=\sum _i{x}_i{y}_i={\overline{x}}^{T}g\overline{y}$

Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:

$\begin{array}{ll}& (\overline{x},\overline{y})=(\overline{y},\overline{x})\\ & (\overline{x},\overline{x})\ge 0\\ \end{array}$

Definition:

Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

$M^{T}JM=J$

bildet die reelle symplektische Gruppe S über

$R^{2f}$.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Gruppeneigenschaften

1.

$M_1,M_2\in S\Rightarrow M_3=M_1{M}_2\in S$

Beweis:

${M_3}^{T}J{M}_3={\left(M_1{M}_2\right)}^{T}J\left(M_1{M}_2\right)={M_2}^T{M_1}^{T}J{M}_1{M}_2={M_2}^{T}J{M}_2=J$

2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)

3. Einselement Einheitsmatrix!

1. Inverse:

$M^{-1}:=J^{-1}{M}^{T}J$

Beweis:

$M^{-1}M=\left(J^{-1}{M}^{T}J\right)M=J^{-1}\left(M^{T}JM\right)=J^{-1}J=1$

Dabei gilt :

$M^T,J\in S$

Beweis: Übungsaufgabe

1. Weiter gilt:

$\det M=1$

Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen

$\dot{\overline{x}}:=A\overline{x}=J{\overline{H}}_{,x}$

kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:

$\begin{array}{ll}& {\dot{y}}_i=\sum _k^{}\frac{\partial y_i}{\partial x_k}{\dot{x}}_k\iff \dot{\overline{y}}=M^{-1}\dot{\overline{x}}=\left(J^{-1}{M}^{T}J\right)J{\overline{H}}_{,x}\\ & \frac{\partial \overline{H}}{\partial y_i}=\sum _k^{}\frac{\partial \overline{H}}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial y_i}\iff {\overline{H}}_{,y}=M^T{\overline{H}}_{,x}\\ & \Rightarrow \dot{\overline{y}}=\left(J^{-1}{M}^{T}J\right)J{\left(M^T\right)}^{-1}{\overline{H}}_{,y}=-J(-1)M^T{\left(M^T\right)}^{-1}{\overline{H}}_{,y}=J{\overline{H}}_{,y}\\ \end{array}$