Beta-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

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Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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$\begin{array}{rlrlr}& (A,Z)& \to & (A,Z+1)+e^{-}+\overline{\nu }& {\beta }^{-}-\text{Zerfall}\\ & (A,Z)& \to & (A,Z-1)+e^{+}+\nu & {\beta }^{+}-\text{Zerfall}\\ & e^{-}+(A,Z)& \to & (A,Z-1)+e^{-}+\nu & e^{-}-\text{Einfang}\\ \end{array}$ wobei ${\beta }^{+}$-Zerfall und $e^{-}$-Einfang sind konkurrierende Vorgänge

reduziert formuliert als

$\begin{array}{rlrlr}& n& \to & p+e^{-}+\overline{\nu }& {\beta }^{-}-\text{Zerfall}\\ & p& \to & n+e^{+}+\nu & {\beta }^{+}-\text{Zerfall}\\ & e^{-}+p& \to & n+e^{-}+\nu & e^{-}-\text{Einfang}\\ \end{array}$

Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel{{#set:Fachbegriff=Isobarenregel|Index=Isobarenregel}} als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel

miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung

Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit{{#set:Fachbegriff=Halbwertzeit|Index=Halbwertzeit}} $t_{1/2}=\frac{0,69}{\lambda }$ das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen{{#set:Fachbegriff=Impulsspektrum der Elektronen|Index=Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums $\lambda (p_e)$, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls $p_e$ wiedergeben. Die Intergration über alle $\lambda (p_e)$ ergibt die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit{{#set:Fachbegriff=Gesamtübergangswahrscheinlichkeit|Index=Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}} $\lambda =\int \lambda (p_e)d{p}_e$ und damit die Halbwertzeit $t_{1/2}$.

Fermi-Ansatz in Analogie zu elektromagnetischen Übergängen. Störungstheorie (Fermis Goldene Regel)

$\lambda =\frac{2\pi }{h}{\left|{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}\right|}^2\frac{dN}{d{E}_0}$ mit

• Wechselwirkungsoperator $\mathcal{\mathscr{H}}$: $<{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}>=\int {\psi }_f\mathcal{\mathscr{H}}{\psi }_{i}d\tau$
• Dichte der Endzustände dN/dE₀

miniatur|Fermi-Ansatz $\lambda =\frac{2\pi }{h}{\left|{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}\right|}^2\frac{dN}{d{E}_0}$ Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)

$<{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}>=\int {\mathrm{\Phi }}_{\nu }^{*}\left(P_{\nu }\right){\mathrm{\Phi }}_e^{*}\left(P_e\right){\mathrm{\Phi }}_f^{}(A,Z+1)\mathcal{\mathscr{H}}{\mathrm{\Phi }}_i^{}(A,Z)d\tau$ mit

• ${\mathrm{\Phi }}_{\nu }^{*}\left(P_{\nu }\right){\mathrm{\Phi }}_e^{*}\left(P_e\right)$-Leptonen- Wellenfunktion
• ${\mathrm{\Phi }}_f^{}(A,Z+1){\mathrm{\Phi }}_i^{}(A,Z)$-Nukleonen Wellenfunktion
• (Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)

Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen $\mathrm{\Phi }\left(\overrightarrow{p}\right)\stackrel{~}{}{e}^{i\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash }=1+i\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash -\frac{1}{2}{(\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash )}^2+\dots$

Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit $\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash$ vernachlässigen, da für $E_e\succsim 1MeV$ und für alle $E_{\nu }$ gilt:

$\hslash /p=\overline{\lambda }K\approx 200\times 10^{-15}m/E[MeV]$

und damit $pR/\hslash \approx 10^{-2}$. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission{{#set:Fachbegriff=Leptonenemission|Index=Leptonenemission}} kein {{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. $\mathrm{\Delta }l=0$).

miniatur|"klassische" Deutung $L=Rp\stackrel{\text{QM}}{=}n\hslash$ Bei $pR/\hslash \ll 1$ ist nur n = 0 maßgebend Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß $⟨{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}⟩$ insgesamt unabhängig von p_e wird und die Abhängigkeit des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor $dN/d{E}_0$ (der Dichte der Endzustände) steckt.

Allgemein bei freien Teilchen $dN{p}^{2}dp$, somit bei gleichzeitiger Emission beider Leptonen $dNdN(p_e)dN(p_{\nu })$ mit $E_0=E_l+E_{\nu }=\sqrt{(m_0{c}^2{)}^2+(p_{e}c{)}^2}+p_{\nu }c$ (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das Impulsspektrum $\lambda (p_e)d{p}_e$:

$\lambda \left(p_e\right)d{p}_e\stackrel{~}{}\frac{dN}{d{E}_0}\stackrel{~}{}\frac{p_e^{2}d{p}_e{p}_{\nu }^{2}d{p}_{\nu }}{d{E}_0}\stackrel{~}{}{p}_e^2{(E_0-E_e)}^{2}d{p}_e$ wegen

$p_{\nu }^2={(E_0-E_e)}^2/c^2$ und $\frac{d{p}_{\nu }}{dE}=\frac{1}{c}$

miniatur|zentriert|hochkant=4

Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung{{#set:Fachbegriff=Fermi-Darstellung|Index=Fermi-Darstellung}} Bestimmung von $E_0$. Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E₀ möglichst klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall$3^{}H{\to }^{3}He+e-+\overline{\nu }$ mit $E_0=18keV(t_{1/2}\approx 12a)$ [$m_{\nu }{c}^2$ zur Zeit $\le 7eV$].

Integration über Impulsspektrum:

$\lambda =\frac{\ln 2}{t_{{}^1╱{}_2}}={\int }_0^{P_0}\lambda \left(p_e\right)d{p}_e=\text{const }f(Z,E_0)$ mit f ( Z, E_{0) über Coulomb-Korrekturfaktor}

Die f-Werte sind tabelliert . Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. Grobe Abschätzung:

nichtrelat. Bereich

(Eo « 1 MeV) : $E_e{p}_e^2\to$

$f\stackrel{~}{}\int p_e^{6}d{p}_e\stackrel{~}{}{p}_0^7\stackrel{~}{}{E}_0^{3,5}$

relat. Bereich (EO > 1 MeV)

$E_e{p}_e^2\to$

$f\stackrel{~}{}\int p_e^{4}d{p}_e\stackrel{~}{}{p}_0^5\stackrel{~}{}{E}_0^5$

Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-Übergänge{{#set:Fachbegriff=Gamow-Teller-Übergänge|Index=Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel (Fermi-Übergänge{{#set:Fachbegriff=Fermi-Übergänge|Index=Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge ($\mathrm{\Delta }l=0$) gelten somit die Auswahlregeln:

Fermi-Ü

$I_i=I_f\to \mathrm{\Delta }I=0$

Gamow-Teller-Ü

$I_i=I_f+1\to \mathrm{\Delta }I=0,\pm 1$

anschaulich:

$\begin{array}{rlrlrlr}& \Uparrow & \to & \Uparrow +& \Uparrow +& \Downarrow & \text{Fermi}\\ & n& \to & p+& e^{-}+& \overline{\nu }& \\ & \Uparrow & \to & \Downarrow +& \Uparrow +& \Uparrow & \text{Gamow-Teller}\\ \end{array}$

Verbotene Übergänge:

Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft_{1/ 2}-Werte Beiträge für diese Übergänge aus: a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen

$e^{ipr/\hslash }=1+\underset{\text{bisher vernachl }\ddot{\mathrm{a}}\text{ ssigt}}{\underbrace{i(pr/\hslash )-1/2{(pr/\hslash )}^2}}$

b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v_N/c-Beiträge

Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:

miniatur|hochkant=4|zentriert

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

• ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
• Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
• Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
• Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
  • Fermi- und GT-Übergänge