Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Zeitabhängige Störungsrechnung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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__SHOWFACTBOX__
(Dirac)
Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes
aus der Schrödingergleichung
![{\displaystyle {\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef04f7b6451900778a3702013757093079ba223a)
berechnet werden, wobei
![{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b1da8efac0a861165c318413e95a2ab1aa82b1)
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{1}}(t)=\varepsilon {\hat {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7a9eec39ddf6e072ecb5f7eb828395c8b43c03)
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
Die Eigenzustände und Eigenwerte von H0 seien bekannt:
(ungestörtes Problem)
Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle n{\acute {\ }}|n\right\rangle ={{\delta }_{n{\acute {\ }}n}}\\&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|=1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3baa3a3c22bf5d9c503fa6b6297aa610643a1576)
Annahme: diskretes Spektrum
Die Entwicklung von
nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle \\&\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dccca1878a9e3e5a2381ca1c0ef6d691342f602)
Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand
:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left|{{n}_{0}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b399088005b65133e710efac1397be6f3c08de71)
Damit:
![{\displaystyle \left\langle n|{{n}_{0}}\right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e78c89afd16d9bb4e9f820c3639b8b7315ed1da)
Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle \\&\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dccca1878a9e3e5a2381ca1c0ef6d691342f602)
in die Schrödingergleichung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t){\hat {H}}\left|n\right\rangle =i\hbar \sum \limits _{n}{}{\frac {d}{dt}}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left({{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left({{E}_{n}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc693cb65c5d71238f03ce3d9248d1d92f3b8845)
Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar \sum \limits _{n}{}{\frac {d}{dt}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|\left({{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|\left({{E}_{n}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left(\left\langle m\right|{{E}_{n}}\left|n\right\rangle +\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \right)=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \\&\Rightarrow i\hbar \sum \limits _{n}{}{\frac {d}{dt}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m|n\right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}{{c}_{m}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f57ac28454b7da3fd38de8d3aa493ff90d12f4b)
Hilfreich ist die Definition eines
mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
![{\displaystyle {{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{n}}t}{\hbar }}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a934e6ef7273403b6caa7b9ada48b1d55e5354)
Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!
Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f338bfd57c9b5f90446ef0487ecb1bdf1da7c541)
mit
Setzt man dies ein, so folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{m}}t}{\hbar }}\right)}}i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \\&\Rightarrow i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)={{e}^{\left(i{\frac {{{E}_{m}}t}{\hbar }}\right)}}\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d93d361f49b6a99019ea3c188e2b94816cfba8)
und wegen
also:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle {{g}_{n}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15296ba37196d7a5385b055d6eaa06cc2d59e68)
Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:
Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines
:
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{1}}(t)=\varepsilon {\hat {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7a9eec39ddf6e072ecb5f7eb828395c8b43c03)
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von
polynomial in
fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:
![{\displaystyle {{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5081594493970d7f11ffa27765d962ab62c7812)
Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.
Dabei gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle \\&\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dccca1878a9e3e5a2381ca1c0ef6d691342f602)
![{\displaystyle {{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{n}}t}{\hbar }}\right)}}{{g}_{n}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055c014ff0fd3a50b9b2475e1fe1145f9cb109bf)
Da aber die Differenzialgleichung für unsere
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle {{g}_{n}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15296ba37196d7a5385b055d6eaa06cc2d59e68)
ebenso beidseitig entwickelt werden kann:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\frac {d}{dt}}\left({{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+...\right)\\&=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \left({{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e9aa7710efd13d414903a2ca12955edc5ef448)
und dies für beliebige
gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung
durchgeführt werden und es folgt:
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(0)}(t)=0\\&\Rightarrow {{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc394690984dfda0a837e2c70c2b61402f64b0b0)
Exakte Lösung für
![{\displaystyle {{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i{\frac {{E}_{m}}{\hbar }}t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4155ce9dff5ca14af496889dfc1e30313d55068)
Für k=1
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5532908f50d190035f72d00c5d8b0150be6922)
Dabei wurde
bereits beidseitig gekürzt.
Beim Vergleich der Ordnungen von
muss man aufpassen.
Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von
.
Rechts dagegen hat man eine Ordnung von
,
die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch
.
Also hat man formal in erster Ordnung von
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|\varepsilon {\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d621e49c85512f5a7b62aaa30f6d9a2ca753b1)
Wir wissen:
Somit:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5532908f50d190035f72d00c5d8b0150be6922)
also:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d5eef181e93712d323793f6ccd5a954846c20d)
und mit der Anfangsbedingung
kann formal integriert werden:
![{\displaystyle {{g}_{m}}^{(1)}(t)={\frac {1}{i\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n0}}\right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8c15e6b26a4eada87c4488559464582e625d7b)
Übergangswahrscheinlichkeit
Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand
zu finden, wenn zu t=0 der Zustand
vorliegt.
![{\displaystyle {{\left|\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|\sum \limits _{n{\acute {\ }}}{}{{c}_{n{\acute {\ }}}}(t)\left\langle n|n{\acute {\ }}\right\rangle \right|}^{2}}={{\left|{{c}_{n}}(t)\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}(t)\right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731051d1f32bfabf0611d4277e6ee3be069d1f12)
Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:
![{\displaystyle {{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7b2818727163b94fdb5913e1f8acb8dc31bffb)
für n=n0
und
![{\displaystyle {{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc19be7bf473fef5212df297ea0887c3c51bf1e4)
für
![{\displaystyle {\hat {V}}=const.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8926280470093a9fd32ef4496974b19636289376)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{g}_{n}}^{(1)}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle =-\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}}}\\&{{\left|{{g}_{n}}^{(1)}(t)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\left\{{\frac {{{e}^{\left(-i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}}}\right\}\left\{{\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}}}\right\}:={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i\Omega t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i\Omega t\right)}}-1\right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}\right\}\\&\Omega :={\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)}{\hbar }}\\&\Rightarrow {{\left|{{g}_{n}}^{(1)}(t)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{\frac {2\left(1-\cos \Omega t\right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{\frac {4{{\sin }^{2}}{\frac {\Omega }{2}}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}\\&{\frac {4{{\sin }^{2}}{\frac {\Omega }{2}}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}:={{D}_{t}}\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)\\&\Rightarrow {{\left|{{g}_{n}}^{(1)}(t)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{{D}_{t}}\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a01fb37a9b1ee0652ed77ec83e8181f7935a00e)
Die Größe
heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von
auf
Datei:Sign squared.png
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{D}_{t}}(0)={{\left({\frac {t}{\hbar }}\right)}^{2}}\\&{\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\left({{D}_{t}}(0)\right)=\infty \\&\int _{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\int _{-\infty }^{\infty }{}dE{\frac {4{{\sin }^{2}}\left({\frac {Et}{2\hbar }}\right)}{{E}^{2}}}={\frac {2t}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\xi {\frac {{{\sin }^{2}}\xi }{{\xi }^{2}}}\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}d\xi {\frac {{{\sin }^{2}}\xi }{{\xi }^{2}}}=\pi \\&\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}={\frac {2\pi }{\hbar }}t\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdaf9670fe7a04a8fb6ac9db9ad9fc706e6c94b)
Also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{D}_{t}}(E)=:{\frac {2\pi }{\hbar }}t{{\delta }_{t}}(E)\\&{\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}{{D}_{t}}(E)={\frac {2\pi }{\hbar }}t\delta (E)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55da384fa4778edfcc6d642efb705702d86480f7)
Grafisch
Datei:Sign squared.gif
![{\displaystyle \Rightarrow {{\left|\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}(t)\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {H}}^{1}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b55808b4b5c742bd0fda17ead0aa8e9fd7d594)
Für
Energieerhaltung:
Für
hat
die Breite
Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
![{\displaystyle \Delta Et\cong 4\pi \hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e2bfc5a8e911c4a40e3b8b4aa376a50b097a82)
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von
auf
)
![{\displaystyle {{W}_{nn0}}={\frac {d}{dt}}{{\left|\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {H}}^{1}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca81cadc54322eb5c913f4c5851de2ccf140c0ff)
Mit dem Übergangsmatrixelement
![{\displaystyle \left\langle n\right|{{\hat {H}}^{1}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a346ec7c08f906c6423f595ca6bc223d5ef8b73b)
und einer quadratischen Sinc- Funktion,
(siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie
beschränkt, so lange deren Abweichung von
noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um
ab, für Quantenenergien, die von
verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!
Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Dabei gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\delta }_{t}}\to \delta \\&f{\ddot {u}}r\quad t\to \infty \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de27e3ffdcb73c6950a7ce93f6c71e2fc20a4d94)
Harmonische zeitabhängige Störung[edit | edit source]
![{\displaystyle {{\hat {H}}^{1}}(t)={\hat {F}}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat {F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20088e7c8157bf6de5ba862b537a3e90607f861)
hermitesch!
Es folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{g}_{n}}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle -{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\&\Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)-1}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega }}\right\}-\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)-1}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega }}\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f5ee7cca97026a5350fd46c96c6ec7b922bdf7)
Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von
auf
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )\\&+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{{e}^{\left(-i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega }}\right\}\left\{{\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega }}\right\}\\&+\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{{e}^{\left(-i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega }}\right\}\left\{{\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega }}\right\}\\&{{\Omega }^{\pm }}:=\Omega \pm \omega ={\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\pm \hbar \omega \right)}{\hbar }}\\&\Rightarrow {{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )\\&+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\&+\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\&\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle :=A{{e}^{-i\gamma }}\\&\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle :=A{{e}^{i\gamma }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aded0a5f118089e95809378458003d2092a37d17)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )\\&+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\&+A{{e}^{i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc21d5bd82e11beec4c356a3463a07442d3be4c7)
Weiter gilt
![{\displaystyle A{{e}^{-i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}={\frac {4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\cos \left(\omega t-\gamma \right)\left[\cos \left(\omega t\right)-\cos \left(\Omega t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75435870e6f976ef5ef8b8cf85220d62b450348)
Für
sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für
sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme
Somit folgt für
![{\displaystyle {{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db45e2637de8eb4c0487f8146ad4853095bad937)
Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen
und
pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:
![{\displaystyle {{W}_{nn0}}={\frac {d}{dt}}{{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle {{n}_{0}}\right|{\hat {F}}\left|n\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850cf6ffcfa67da1209e901513b8f42c425fd07a)
Die Terme lassen sich identifizieren:
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45608a643f09fc6db7e053664266241a0ef7d377)
steht für die Absorption eines Quants der Energie
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von
auf
,
was einem Energiesprung von
entspricht.
Das Quant wird also von Niveau
auf
gehievt
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle {{n}_{0}}\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|n\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc09bea6a6f5e8d90173140665a57c2ae162f4b8)
steht für die Emission eines Quants der Energie
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von
auf
,
was einer Energieabgabe von
entspricht.
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau
auf das Niveau
herunter.
Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild[edit | edit source]
Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)
Im Wechselwirkungsbild gilt:
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left({\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}_{0}}t\right)}}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left(-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}_{0}}t\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af7c6a8f5ffdecd7210d1359b56ffecff9ce87a)
Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit
gewonnen, während die Zustände mit
evolutionieren:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={{\hat {H}}_{W}}^{1}(t){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3983c2cddf076545e2a68998e1d0bc210493172b)
Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{}d\tau \left({{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(\tau )\right)\\&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd47390ed036dbda2e42ca526b9706d641683466)
Für kleine
liefert eine Iteration:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{}d\tau \left({{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(\tau )\right)\approx \left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau )\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau )\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle =\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c8c7e33c7f911423ef68f070704ba222e8c98e)
Mit
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19bb4fa248b3a1f0592a4104f06ffe10d99a6dc)
und
![{\displaystyle {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right):=U(t,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647c7469f62e61b6790282dfb2680d6811d2d5d8)
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild
Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{c}_{n}}(t)=\left\langle n|\Psi \right\rangle =\left\langle n\right|U(t,0)\left|{{n}_{0}}\right\rangle =\left\langle n\right|{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\&\Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}t}}\left({{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n\right|{{\hat {H}}_{S}}^{1}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n0}}\tau }}\right)\\&{{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)}\\&-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n\right|{{\hat {H}}_{S}}^{1}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n0}}\tau }}=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}\\&{{c}_{n}}(t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}t}}\left({{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n\right|{{\hat {H}}_{S}}^{1}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n0}}\tau }}\right)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}t}}{{g}_{n}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517425a8013201341ffadf98d801e53371d40984)
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