Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Paramagnetismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Kategorie:Thermodynamik
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Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet! Keine WW der Elementarmagnete untereinander
Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander! → spontane Magnetisierung!
Diamagnetismus: die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert → Abstoßung (Lenzsche Regel)!
N ortsfeste (und somit unterscheidbare Teilchen!) mit Drehimpuls
im Magnetfeld der Induktion
Drehimpulsquantisierung:
Energie:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&E=-\mu B{{m}_{l}}\\&{{m}_{l}}=-l,-l+1,-l+2,...,l-1,l\\&\mu =g{\frac {e\hbar }{2m}}=g{{\mu }_{Bohr}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d11f8c6e54005a3d18d85c9e925214fd6a460c)
mit
= Bohrsches Magneton!
z.B. Spin:
Bahn:
Einteilchen- Zustandssumme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Z=\sum \limits _{{{m}_{l}}=-l}^{l}{}\exp \left(\beta \mu B{{m}_{l}}\right)\\&\nu :={{m}_{l}}+l\\&\Rightarrow Z=\exp \left(-\beta \mu Bl\right)\sum \limits _{\nu =0}^{2l}{}{{\left(\exp \left(\beta \mu B\right)\right)}^{\nu }}=\exp \left(-\beta \mu Bl\right){\frac {\exp \left(\beta \mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp \left(\beta \mu B\right)-1}}={\frac {\sinh \left(\beta \mu B\left(l+{\frac {1}{2}}\right)\right)}{\sinh \left({\frac {1}{2}}\beta \mu B\right)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33562a732c66e4834e0033f3a7fea82c077f14b0)
Beispiel: l = 1/2:
![{\displaystyle \Rightarrow Z={\frac {\sinh \left(\beta \mu B\right)}{\sinh \left({\frac {1}{2}}\beta \mu B\right)}}=2\cosh \left({\frac {1}{2}}\beta \mu B\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00637300f56b142753dec00768b4f6d79a0c51bc)
Als Einteilchenzustandssumme
Magnetisierung M (= mittleres magnetisches Moment pro Volumen)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&M={\frac {N}{V}}\sum \limits _{{{m}_{l}}=-l}^{l}{}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left(\beta \mu B{{m}_{l}}\right)={\frac {N}{V}}{\frac {1}{Z}}\sum \limits _{{{m}_{l}}=-l}^{l}{}\mu {{m}_{l}}\exp \left(\beta \mu B{{m}_{l}}\right)\\&={\frac {N}{V}}{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial B}}\ln Z\\&={\frac {N}{V}}\mu \left[\left(l+{\frac {1}{2}}\right)\coth \left[\beta \mu B\left(l+{\frac {1}{2}}\right)\right]-{\frac {1}{2}}\coth \left[{\frac {1}{2}}\beta \mu B\right]\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df62d712d2b6041bcc7d4484fd5ffc8bab2caf79)
Brillouin- Funktion
z.B. l= 1/2:
![{\displaystyle M={\frac {N}{V}}\mu {\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {1}{2}}\beta \mu B\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95313cebb8242ffb8c7381d4a9553bce7f294d9f)
(Lorgevin- Funktion)
Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung
![{\displaystyle M\left(T,V,B\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d5d3dcbec770f3bd1023f89cd109d56da57fc4)
![{\displaystyle kT>>\mu B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3fc8206d28c63b726612525a5a26f678922ab8)
Beispiel: B= 1 Tesla → T >> 1K
Entwicklung
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\coth x\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}+...\\&x<<1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9804580ba6da1318d055c06b7d3e41cea8d0a60)
![{\displaystyle \Rightarrow M={\frac {N}{V}}{\frac {l\left(l+1\right)}{3}}\beta {{\mu }^{2}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c637fb021ba4c9e2c66d27b2df5c8b86ff770fb7)
linear in B!
speziell: l= 1/2:
![{\displaystyle \Rightarrow M\left(T,V,B\right)={\frac {N}{V}}{\frac {{{\mu }^{2}}B}{4kT}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38b0e8ada52b5c1b6bec14d2389bd9e74e390aa)
Curie- Gesetz!!
magnetische Suszeptibilität
definiert durch
![{\displaystyle M={{\chi }_{m}}H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e71db82a1aecad4f8e23425255f969ebd29d97b)
![{\displaystyle B={{\mu }_{0}}\left(H+M\right)={{\mu }_{0}}\left(1+{{\chi }_{m}}\right)H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09df478d8e12379644f3dd44f4cbbe2b44ecd58d)
mit dem Magnetfeld
und
als absolute Permeabilität
![{\displaystyle \Rightarrow M={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\frac {{\chi }_{m}}{1+{{\chi }_{m}}}}B\approx {\frac {1}{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edbe63569bd48db5e4146f26bf3a9c70c27dcbfe)
Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:
![{\displaystyle {{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}{\frac {N}{V}}{\frac {l\left(l+1\right)}{3}}{\frac {{\mu }^{2}}{kT}}={\frac {C}{T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e683bc76fa9abb6a7b5c0fbe117be7b92091018b)
Mit der Curie- Konstanten C!
(Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört!)
Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&kT<<\mu B\\&\coth x\approx 1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9b9ffe81918cea2bf8cda0bbaa75f09a6a7631)
für
![{\displaystyle \Rightarrow M={\frac {N}{V}}\mu \left(\left(l+{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {N}{V}}\mu l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef8ed78d01adff507505b2f5bd0b805724da143)
Also:
Vollständige Ausrichtung aller Momente
![{\displaystyle {\bar {\mu }}\uparrow \uparrow {\bar {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0955087bb185c5437e52e63e2d771e0bc8a964)
Vergleich mit der klassischen rechnung[edit | edit source]
![{\displaystyle {\bar {E}}=-{\bar {m}}{\bar {B}}=-mB\cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf32da29357b1bffc03832001e342ece5c6b80ec)
mit
fest (magnetisches Moment!) und
Phasenraumvariable!, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten!
Klassische Zustandssumme:
![{\displaystyle Z{\tilde {\ }}\int _{-1}^{1}{}d\left(\cos \alpha \right)\exp \left(\beta mB\left(\cos \alpha \right)\right){\tilde {\ }}{\frac {\sinh \left(\beta mB\right)}{B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5568be0935c0ca12919d024fd7df734b1067c247)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&M={\frac {N}{V}}{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial B}}\ln Z={\frac {N}{V}}{\frac {B}{\sinh \left(\beta mB\right)}}{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial B}}\left({\frac {\sinh \left(\beta mB\right)}{B}}\right)\\&={\frac {N}{V}}m\left(\coth \left(\beta mB\right)-{\frac {1}{\beta mB}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1af168ea7b9d0b7723d423c50e390e2a52ac67)
Vergleich für l=1/2, g=2 (Spin)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {MV}{Nm}}=\left(\coth \left(\beta mB\right)-{\frac {1}{\beta mB}}\right)=\left(\coth x-{\frac {1}{x}}\right)\\&x={\frac {mB}{kT}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5daff087dece6a110868107c70449aa02dc2de0d)
klassisch
im Gegensatz zu quantentheoretisch:
Also für x→ 0 (hohe Temperaturen):
![{\displaystyle {\frac {MV}{Nm}}\to {\frac {x}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878ffaccf8f35e2300df1756b44582538010d58b)
(klassisch)
![{\displaystyle {\frac {MV}{Nm}}\to x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32b2a721548d0934e73d43749c0f336ddfdd03c)
(quantentheoretisch!)
und für x →
(tiefe Temperaturen):
![{\displaystyle {\frac {MV}{Nm}}\to 1-{\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d981828c055986caa514c14c7fff2001562bcf)
(klassisch)
![{\displaystyle {\frac {MV}{Nm}}\to 1-{{e}^{-2x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545c03af4d120f1ff2255a12030a65dd523d57c3)
(quantentheoretisch)
Somit folgt (die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab!
Vergleich für l>>1
quantentheoretisch:
und
![{\displaystyle M={\frac {N}{V}}m\left(\coth \left(\beta mB\right)-{\frac {1}{2l}}\coth {\frac {\beta mB}{2l}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac22cb7dfff116310b501d3ce25e6541e4ce58bc)
Klassisch dann mit der Näherung
![{\displaystyle \coth {\frac {\beta mB}{2l}}\approx {\frac {2l}{\beta mB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4739c159ad845ff583b5b719e2b3ddd53aa2d2d0)
für
![{\displaystyle kT>mB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd85f3930de50b02c4604c1defbbd55bf0ad9e89)
klassisch:
![{\displaystyle M={\frac {N}{V}}m\left(\coth \left(\beta mB\right)-{\frac {1}{\beta mB}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca779a314f0bedf28c43672ae1bd4ae2087cde0)
(klassische Brillouin- Funktion)
Für l=2 folgt:
Dabei ist die klassische Kurve nun steiler! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist!
Für l=5:
und schließlich l=10:
Dabei wurde wieder
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Entropie S für
N- Teilchen- Zustandssumme
![{\displaystyle S=k\left(\ln {{Z}^{N}}+\beta U\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab844b7a34afcc7d1adac2131e62ac731ce41f66)
Statistischer Operator für kanonische Verteilung:
![{\displaystyle {{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1762ac6a7f59126b3f99bb8b5497869520cc19a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&U=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {{Z}^{N}}=-N{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln \left[2\cosh \left({\frac {\beta \mu B}{2}}\right)\right]=-{\frac {N\mu B}{2}}{\frac {\sinh \left({\frac {\beta \mu B}{2}}\right)}{\cosh \left({\frac {\beta \mu B}{2}}\right)}}\\&U\left(T\right)=-{\frac {N\mu B}{2}}\tanh \left({\frac {\beta \mu B}{2}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f5c11798d6a6d73ff2cad6e8d16dec92faab1b)
(kalorische Zustandsgleichung
)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&S\left(T\right)=kN\left(\ln Z-\beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln Z\right)\\&S\left(T\right)=kN\left[\ln 2+\ln \cosh \left({\frac {\beta \mu B}{2}}\right)-{\frac {\beta \mu B}{2}}\tanh \left({\frac {\beta \mu B}{2}}\right)\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a10bad474b35e2f32509979ad5e555d2e1bc6ea)
Limes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&T\to \infty \\&\Rightarrow S\left(T\right)=kN\ln 2\\&\\&T->0\\&\Rightarrow S(T)\to kN\left[\ln 2+\ln {\frac {{e}^{x}}{2}}-x\left(1-2{{e}^{-2x}}\right)\right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0\\&x:={\frac {\mu B}{2kT}}\to \infty \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24dbde010c0eba4972f5dfc0f2ddb436d32a820)
Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur (arbitrary units) geplottet:
Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld (a.u.) verdoppelt!
Adiabatische Entmagnetisierung[edit | edit source]
Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung (insbesondere mit Kernspin)