Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper
![{\displaystyle K:=\left({{K}_{M}},+,\centerdot \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c37a3379c7f6aad0078b6cf9ff751ae3ebf38ce)
ist ein Tripel,
[A.1]
![{\displaystyle \left(X,T,\tau \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc03af49d8afe654d107b505b9868a9845485ca5)
wobei
X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)
sei ein K-Vektorraum
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\tau :{{T}_{M}}\times X\to X\\&\left(t,x\right)\to t+x\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398cdd3227cc5cb91a71ee36327829c05b1e8848)
eine einfach transitive Operation von der Gruppe
des Vektorraums T auf der Menge X
Beispiel:
![{\displaystyle {\begin{matrix}K:=\left({{K}_{M}},+,\centerdot \right)\\X:={\text{ K}}_{\text{M}}^{\text{n}}\\T:=\left(K_{M}^{n},+,\centerdot \right)\\\tau :K_{M}^{n}\times K_{M}^{n}\to K_{M}^{n}\\\left(t,x\right)\to t+x{\text{ hier sei }}+=+\\\left(\left({\begin{aligned}&{{t}_{1}}\\&\vdots \\&{{t}_{n}}\\\end{aligned}}\right),\left({\begin{aligned}&{{x}_{1}}\\&\vdots \\&{{x}_{n}}\\\end{aligned}}\right)\right)\to \left({\begin{aligned}&{{t}_{1}}+{{x}_{1}}\\&\quad \vdots \\&{{t}_{n}}+{{x}_{n}}\\\end{aligned}}\right)\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8ec1442df1fc8686e6073941c7c5084eb5e45d)
1.1.3 Abkürzende Schreibweise
In jedem affinen Raum
![{\displaystyle \left(X,T,\tau \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc03af49d8afe654d107b505b9868a9845485ca5)
existiert zu allen
ein eindeutig bestimmtes
für das gilt
.
Beweis:
ist einfach transitiv.
Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y.
Außerdem ist
wobei – in der Gruppe
des Vektorraums T wie folgt definiert ist:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}}\\&\left(t,{t}'\right)\to t+\left(-{t}'\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f944f5d4abe4228d39d85f7fba938589b1ef6631)
Dabei ist
Beweis:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\overrightarrow {xy}}+x=y\wedge {\overrightarrow {yx}}+y=x\\&\Leftrightarrow {\overrightarrow {xy}}+\left({\overrightarrow {yx}}+y\right)=y\\&\overbrace {\Leftrightarrow } ^{\left[{\text{O}}{\text{.1}}\right]}\left({\overrightarrow {xy}}+{\overrightarrow {yx}}\right)+y=y\\&\overbrace {\Leftrightarrow } ^{\left[{\text{O}}{\text{.2}}\right]}{\overrightarrow {xy}}+{\overrightarrow {yx}}=0\in {{T}_{M}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261d1a28d0d9181dcff7fbfa8f1d5f9af5d87431)
[A.2]
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-1{\text{ falls X=}}\varnothing \\Di{{m}_{k}}T{\text{ sonst}}{\text{.}}\\\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed7e0c6521d0d90217596c6e2215c53bd77a020)
Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T.
Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.
Kategorie:Affine Geometrie