Master Gleichung

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators $H=H_S+H_B+H_I$ bestehend aus

• System $H_S$
• Umgebung $H_B$
• WW $H_I$

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

• links ${}^L{H}_B=\sum _k{}^L{\epsilon }_k{}^L{N}_k$
• und rechts ${}^R{H}_B=\sum _k{}^R{\epsilon }_k{}^R{N}_k$ zuammen mit ${}^X{N}_k={}^X{a}_k^{+}{}^X{a}_k$

Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen $H_I={}_S^L{H}_I+{}_S^R{H}_I+{}_L^S{H}_I+{}_R^S{H}_I$

• Von Links ins System ${}_S^L{H}_I$
• Vor Rechts ins System ${}_S^R{H}_I$
• Vom System nach Links ${}_L^S{H}_I$
• Vom System nach Rechts ${}_R^S{H}_I$

mit ${}_S^X{H}_I=\sum _{k,i}{}^X{V_k}^X{a}_k^{†}{e}_i$ und ${}_X^S{H}_I=\sum _{k,i}{}^X{V_k}^X{a}_k{e}_i^{†}$

$e_i$ erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i. $e_i^{†}$ vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

$\tilde{A}\left(t\right):=U_0^{†}A{U}_0$

mit $U_0=\exp (-\mathfrak{i}{H}_{0}t)$

und $H_0=H_S+H_B$

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung Failed to parse (unknown function "\mathfrac"): {\displaystyle \dot \rho = - \mathfrac{i} \left[ {H,\rho } \right]}

(mit der Lösung

$\rho \left(t\right)=U^{†}{\rho }_{0}U$

mit $U=\exp (-\mathfrak{i}Ht)$

Beweis

${\partial }_{t}U=-\mathfrak{i}HU$

sowie

${\partial }_t{U}^{†}=\mathfrak{i}HU$

Dann ist $d_t\rho =\underset{-\mathfrak{i}[H,\rho ]}{\underbrace{-\mathfrak{i}HU{\rho }_0{U}^{†}+U{\rho }_0\mathfrak{i}H{U}^{†}}}+\underset{0}{\underbrace{U\left({\partial }_t{\rho }_0\right)U^{†}}}$