Klein Gordon Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

Klein Gordon Gleichung	{{#ask: Kapitel::1 Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. T. Brandes}}	{{#ask: Abschnitt::0 Kapitel::0 Urheber::Prof. Dr. T. Brandes}}
Contents 1 Literatur 2 Siehe auch	{{#ask: Kapitel::1 Abschnitt::!0 Urheber::Prof. Dr. T. Brandes	format=ol	order=ASC	sort=Abschnitt }}	{{#ask: Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. T. Brandes Kapitel::!0	format=ol	order=ASC	sort=Kapitel }}

{{#set:Urheber=Prof. Dr. T. Brandes|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=1}} __SHOWFACTBOX__

Ein quantenmechanisches Wellenpaket{{#set:Fachbegriff=Wellenpaket|Index=Wellenpaket}} hat die Form

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}}

((1.1))

wobei d die Raumdimension angibt.

Nach Schrödinger (nicht relativistisch) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1}

((1.2))

was auf die Schrödingergleichung{{#set:Fachbegriff=Schrödingergleichung|Index=Schrödingergleichung}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}}

((1.3))

führt.

Relativistisch (SRT) gilt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}}

((1.4))

wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{p}=\hbar k} .

Ab jetzt gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=1} .

Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Klein-Gordon-Gleichung|Index=Klein-Gordon-Gleichung}}:

Klein-Gordon-Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0}

((1.5))

Es gilt die (AUFGABE)

Kontinuitätsgleichung{{#set:Fachbegriff=Kontinuitätsgleichung|Index=Kontinuitätsgleichung}} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0}

((1.6))

mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}} \right) \\ & \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\ \end{align}}

((1.7))

Dabei ist die Stromdichte (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{j}} ) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!

Allerdings gilt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ & =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0 \end{align}} fürFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \left( {\underline{k}} \right)>0} .

Diskurssion:

Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die WellengleichungFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \partial _{t}^{2}-\Delta \right)\Psi =0} .
Auch ein Wellenpaket mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \left( {\underline{k}} \right)=-\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}} erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi \left( t=0 \right)\Rightarrow \Psi \left( t>0 \right)} ) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe vonFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\partial }_{t}}\Psi {{|}_{t=0}}} .
Schreibweise

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0}

((1.8))

mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\hbar }{mc}} der Compton-Wellenlänge{{#set:Fachbegriff=Compton-Wellenlänge|Index=Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala. Hier ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta } der d’Alambert-Operator{{#set:Fachbegriff=d’Alambert-Operator|Index=d’Alambert-Operator}}.