Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Sei nun
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle =\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}\\&\left|nlm\right\rangle \in {{H}_{B}}\\&\left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{S}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082040fe63c8ed47ccfb6bb4829419e76b088d25)
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
(äquivalente Sprechweise):
![{\displaystyle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}|{{n}_{1}}{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}|{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{2}}|{{n}_{2}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182196b476e60a837a73d9537a9795d0a4f2a2ec)
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
zerlegt werden:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\left|\downarrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da35961e703ee5445c66b67755d3ffa58b5f67a9)
mit
![{\displaystyle {{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9db1db3b6baae2107ac8206489b947bc1f2deb)
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left({\begin{matrix}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e595213053342e39a399d4496131631d624229)
Mit
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d07d10d682a7c619542292d455c25daa3c29b8)
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
Die Vollständigkeit der Zustände
folgt aus:
![{\displaystyle \int _{}^{}{{{d}^{3}}r\left\{\left|{\bar {r}}\uparrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|+\left|{\bar {r}}\downarrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|\right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cf1149fac2c3b556a1b1ec0fcbda5d0204ed08)
Weiter:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acfc5a12fbe0f4e0d516668800989c393f160213)
Also die Komponenten von
am Ort
, einmal die Komponente mit Spin
und einmal die Komponente mit Spin
. Dabei gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|\left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}\\&{{\left|\left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b379d1aeda52a48736cbd87ae75d8f0590478ea3)
entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
mit Spin
bzw. Spin
zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum[edit | edit source]
Hamilton- Operator für Bahn:
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{B}}={\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35bac8cbb2cc005337832bed417354b67373e68)
Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>
Hamilton- Operator für Spin:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\omega }_{l}}={\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e1eef7b9485a749198f8d63b59667e7a261fb1)
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b96f4e2188405549290129b314979bd37b060b8)
wirkt dabei nur im Hilbertraum
Ohne Berücksichtigung von
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9d8fc5ad4159c3538462af29a18e15ea0aa2d1)
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{B}}\times 1\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524ab9d559ba2f2af6a333d11967bf0eab82bf57)
Dabei
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
= Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
MIT Berücksichtigung von
![{\displaystyle \left({{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{\hat {H}}_{S}}\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f834492aabf68c18cc6743f7dee57fe9280e6f5)
In Matrix- Darstellung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}&0\\0&{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)\\&\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cfa4fe316632b5b449ab8d325e9979c9645a0c)
Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
![{\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b391c5f75503f9a775ae0aeabf81643ae08cea1)
Dabei wird durch
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{\hat {H}}\cong \left[{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left({{\hat {L}}_{3}}\times 1+\hbar {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)\\&{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)={{H}_{0}}\\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a720a950306a4721d53ecb6bfc529b8fb8a5196a)
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 → Eigenzustände mit Spin
![{\displaystyle \left({{H}_{0}}\times 1\right)\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0cf840d7581619e11a0f51579635a7a825ab7f4)
Insgesamt
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
![{\displaystyle B\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ccb361a6a943f6d2acfa59f35f6274868c73d0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {H}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}\\&{{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle =\hbar m\left|nlm\right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle =2{{m}_{S}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}\left(m+2{{m}_{s}}\right)\right]\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cdfb28399f15b7e3045d7b6e3e0d6ae6551ea9)
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der
- fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt{{#set:Fachbegriff=Anomaler Zeemann-Effekt|Index=Anomaler Zeemann-Effekt}}!)
Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment
.
Dabei entspricht
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben!
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen |
s |
g |
Q
|
Elektron |
1/2 |
2 |
-e
|
Proton |
1/2 |
5,59 |
e
|
Neutron |
1/2 |
-3,83 |
0
|
Neutrino |
1/2 |
0 |
0
|
Photon |
1 |
0 |
0
|