Beta-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

65px|Kein GFDL

Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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${\begin{aligned}&\left(A,Z\right)&\to &\left(A,Z+1\right)+{{e}^{-}}+{\bar {\nu }}&{{\beta }^{-}}-{\text{Zerfall}}\\&\left(A,Z\right)&\to &\left(A,Z-1\right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-{\text{Zerfall}}\\&{{e}^{-}}+\left(A,Z\right)&\to &\left(A,Z-1\right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-{\text{Einfang}}\\\end{aligned}}$ wobei ${{\beta }^{+}}$-Zerfall und $e^{-}$-Einfang sind konkurrierende Vorgänge

reduziert formuliert als

${\begin{aligned}&n&\to &p+{{e}^{-}}+{\bar {\nu }}&{{\beta }^{-}}-{\text{Zerfall}}\\&p&\to &n+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-{\text{Zerfall}}\\&{{e}^{-}}+p&\to &n+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-{\text{Einfang}}\\\end{aligned}}$

Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel{{#set:Fachbegriff=Isobarenregel|Index=Isobarenregel}} als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel

miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung

Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit{{#set:Fachbegriff=Halbwertzeit|Index=Halbwertzeit}} $t_{1/2}={\frac {0,69}{\lambda }}$ das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen{{#set:Fachbegriff=Impulsspektrum der Elektronen|Index=Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums $\lambda (p_{e})$, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls $p_{e}$ wiedergeben. Die Intergration über alle $\lambda (p_{e})$ ergibt die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit{{#set:Fachbegriff=Gesamtübergangswahrscheinlichkeit|Index=Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}} $\lambda =\int \lambda (p_{e})dp_{e}$ und damit die Halbwertzeit $t_{1/2}$.

Fermi-Ansatz in Analogie zu elektromagnetischen Übergängen. Störungstheorie (Fermis Goldene Regel)

$\lambda ={\frac {2\pi }{h}}{{\left|{{\mathcal {H}}_{if}}\right|}^{2}}{\frac {dN}{d{{E}_{0}}}}$ mit

• Wechselwirkungsoperator ${\mathcal {H}}$: $<{{\mathcal {H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}{\mathcal {H}}{{\psi }_{i}}d\tau$
• Dichte der Endzustände dN/dE₀

miniatur|Fermi-Ansatz $\lambda ={\frac {2\pi }{h}}{{\left|{{\mathcal {H}}_{if}}\right|}^{2}}{\frac {dN}{d{{E}_{0}}}}$ Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)

$<{{\mathcal {H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left({{P}_{\nu }}\right)\Phi _{e}^{*}\left({{P}_{e}}\right)\Phi _{f}^{}\left(A,Z+1\right){\mathcal {H}}\Phi _{i}^{}\left(A,Z\right)d\tau$ mit

• $\Phi _{\nu }^{*}\left({{P}_{\nu }}\right)\Phi _{e}^{*}\left({{P}_{e}}\right)$-Leptonen- Wellenfunktion
• $\Phi _{f}^{}\left(A,Z+1\right)\Phi _{i}^{}\left(A,Z\right)$-Nukleonen Wellenfunktion
• (Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)

Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen $\Phi \left({\overrightarrow {p}}\right){\tilde {\ }}{{e}^{i\left({\vec {p}}{\vec {r}}\right)/\hbar }}=1+i\left({\vec {p}}{\vec {r}}\right)/\hbar -{\frac {1}{2}}{{\left(\left({\vec {p}}{\vec {r}}\right)/\hbar \right)}^{2}}+\ldots$

Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit $\left({\vec {p}}{\vec {r}}\right)/\hbar$ vernachlässigen, da für ${{E}_{e}}\succsim 1MeV$ und für alle $E_{\nu }$ gilt:

$\hbar /p={\bar {\lambda }}K\approx 200\times 10^{-15}m/E[MeV]$

und damit $pR/\hbar \approx 10^{-2}$. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission{{#set:Fachbegriff=Leptonenemission|Index=Leptonenemission}} kein {{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. $\Delta l=0$).

miniatur|"klassische" Deutung $L=Rp{\overset {\text{QM}}{\mathop {=} }}\,\,n\hbar$ Bei $pR/\hbar \ll 1$ ist nur n = 0 maßgebend Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß $\left\langle {{\mathcal {H}}_{if}}\right\rangle$ insgesamt unabhängig von p_e wird und die Abhängigkeit des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor $dN/dE_{0}$ (der Dichte der Endzustände) steckt.

Allgemein bei freien Teilchen $dN~p^{2}dp$, somit bei gleichzeitiger Emission beider Leptonen $dN~dN(p_{e})dN(p_{\nu })$ mit $E_{0}=E_{l}+E_{\nu }={\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(p_{e}c)^{2}}}+p_{\nu }c$ (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das Impulsspektrum $\lambda (p_{e})dp_{e}$:

$\lambda \left({{p}_{e}}\right)d{{p}_{e}}{\tilde {\ }}{\frac {dN}{d{{E}_{0}}}}{\tilde {\ }}{\frac {p_{e}^{2}d{{p}_{e}}p_{\nu }^{2}d{{p}_{\nu }}}{d{{E}_{0}}}}{\tilde {\ }}p_{e}^{2}{{\left({{E}_{0}}-{{E}_{e}}\right)}^{2}}d{{p}_{e}}$ wegen

$p_{\nu }^{2}={{\left({{E}_{0}}-{{E}_{e}}\right)}^{2}}/{{c}^{2}}$ und ${\frac {d{{p}_{\nu }}}{dE}}={\frac {1}{c}}$

miniatur|zentriert|hochkant=4

Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung{{#set:Fachbegriff=Fermi-Darstellung|Index=Fermi-Darstellung}} Bestimmung von $E_{0}$. Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E₀ möglichst klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall$^{3}H\to ^{3}He+e-+{\bar {\nu }}$ mit $E_{0}=18keV(t_{1/2}\approx 12a)$ [$m_{\nu }c^{2}$ zur Zeit $\leq 7eV$].

Integration über Impulsspektrum:

$\lambda ={\frac {\ln 2}{{t}_{{}^{1}\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}}}=\mathop {\int } _{0}^{{P}_{0}}\lambda \left({{p}_{e}}\right)d{{p}_{e}}={\text{const }}f(Z,{{E}_{0}}){\text{ }}$ mit f ( Z, E_{0) über Coulomb-Korrekturfaktor}

Die f-Werte sind tabelliert . Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. Grobe Abschätzung:

nichtrelat. Bereich

(Eo « 1 MeV) : $E_{e}~p_{e}^{2}\to$

$f{\tilde {\ }}\int p_{e}^{6}d{{p}_{e}}{\tilde {\ }}p_{0}^{7}{\tilde {\ }}E_{0}^{3,5}$

relat. Bereich (EO > 1 MeV)

$E_{e}~p_{e}^{2}\to$

$f{\tilde {\ }}\int p_{e}^{4}d{{p}_{e}}{\tilde {\ }}p_{0}^{5}{\tilde {\ }}E_{0}^{5}$

Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-Übergänge{{#set:Fachbegriff=Gamow-Teller-Übergänge|Index=Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel (Fermi-Übergänge{{#set:Fachbegriff=Fermi-Übergänge|Index=Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge ($\Delta l=0$) gelten somit die Auswahlregeln:

Fermi-Ü

${{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0$

Gamow-Teller-Ü

${{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1$

anschaulich:

${\begin{aligned}&\Uparrow &\to &\Uparrow +&\Uparrow +&\Downarrow &{\text{Fermi}}\\&n&\to &p+&{{e}^{-}}+&{\bar {\nu }}&\\&\Uparrow &\to &\Downarrow +&\Uparrow +&\Uparrow &{\text{Gamow-Teller}}\\\end{aligned}}$

Verbotene Übergänge:

Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft_{1/ 2}-Werte Beiträge für diese Übergänge aus: a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen

${{e}^{ipr/\hbar }}=1+\underbrace {i\left(pr/\hbar \right)-1/2{{\left(pr/\hbar \right)}^{2}}} _{{\text{bisher vernachl }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ ssigt}}}$

b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v_N/c-Beiträge

Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:

miniatur|hochkant=4|zentriert

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

• ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
• Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
• Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
• Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
  • Fermi- und GT-Übergänge