Liouville-von-Neumann-Gleichung

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ρ˙=ℒρ=−iℏ[H,ρ] mit

ρ Dichteoperator
H Hamiltonoperator
[_,_] Kommutator

[1]

Herleitung

Schrödingergleichung


𝔦∂tΨ(t)=ĤΨ(t)

Dirac Notation

Ket: |𝔦∂tΨ(t)⟩=|ĤΨ(t)⟩𝔦∂t|Ψ(t)⟩=Ĥ|Ψ(t)⟩⇒∂t|Ψ(t)⟩=−𝔦Ĥ|Ψ(t)⟩

Bra:

⟨𝔦∂tΨ(t)|=⟨ĤΨ(t)|-𝔦∂t⟨Ψ(t)|=⟨Ψ(t)|Ĥ,(Ĥ=Ĥ+)⇒∂t⟨Ψ(t)|=𝔦⟨Ψ(t)|Ĥ


Dichtematrix

ρ=|Ψ(t)⟩⟨Ψ(t)|

einsetzen:

ρ˙=∂t(|Ψ(t)⟩⟨Ψ(t)|)=(∂t|Ψ(t)⟩)⟨Ψ(t)|+|Ψ(t)⟩(∂t⟨Ψ(t)|)=−𝔦Ĥ|Ψ(t)⟩⟨Ψ(t)|+|Ψ(t)⟩⟨Ψ(t)|𝔦Ĥ=−𝔦(Ĥρ−ρĤ)=−𝔦[Ĥ,ρ]=𝔦[ρ,Ĥ]

Einzelnachweise

  1. ↑ Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77,

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