Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

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Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die nahezu konstante Nukleonendichte{{#set:Fachbegriff=Nukleonendichte|Index=Nukleonendichte}} $\rho \approx 10^{17}kg/m^{3}$ und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme{{#set:Fachbegriff=Kondensationswärme|Index=Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel

Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:

$B=\sum _{i=1}^{5}B_{i}$

1. Volumenenergie{{#set

Fachbegriff=Volumenenergie|Index=Volumenenergie}}: $B_{1}=a_{1}A$ Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um

2. Oberflächenenergie{{#set

Fachbegriff=Oberflächenenergie|Index=Oberflächenenergie}}: $B_{2}=-a_{2}A^{2/3}$ ~ Anzahl der Nukleonen an der

Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.

3. Coulombenergie{{#set

Fachbegriff=Coulombenergie|Index=Coulombenergie}}: $B_{3}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {5}{3}}{\frac {Z(Z-1)e^{2}}{R}}=-a_{3}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}$ einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie $B_{3}$ würden für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch $Z\approx N$.

Genauer: Nuklidkarte miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte

Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:

4. Asymmetrie-Energie{{#set

Fachbegriff=Asymmetrie-Energie|Index=Asymmetrie-Energie}}: $B_{4}=-a_{4}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}$

Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

${\begin{array}{*{35}{l}}{}&(g,g)\to &(u,g),&(g,u)\to &(u,u)\to {\text{Abnahme der Stabilitaet}}\\{\text{stab}}{\text{. Kerne}}\quad &158&50,&53&6\\\end{array}}$

5. Parität{{#set

Fachbegriff=Parität|Index=Parität}}: Deshalb $B_{5}=\delta =a_{5}A^{-1/2}$

mit ${\begin{aligned}&{\text{(g}}{\text{, g) : }}{\text{+}}\delta \\&{\text{(u}}{\text{, g) }}{\text{, (g}}{\text{, u) : }}{\text{0}}\\&{\text{(u}}{\text{, u) : }}{\text{-}}\delta \\\end{aligned}}$

Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter $a_{i}:a_{1}=16MeV,a_{2}=18MeV,a_{3}=0,7MeV,a_{4}=23MeV$ und mit $a_{5}=12MeV$ ). Genauigkeit $\approx 1\%ab\approx 40$.

Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel

I. Isobarenregeln

Für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand $2\delta$ der Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} $\delta$ getrennt sind.

miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln

Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte{{#set:Fachbegriff=Nuklidkarte|Index=Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".

Umwandlung durch Beta-Zerfall:

${\begin{aligned}{{\beta }^{+}}:\quad n&\to p+{{e}^{-}}+{\tilde {\nu }}\\{{\beta }^{-}}:\quad n&\to p+{{e}^{+}}+\nu \\{{e}^{-}}+p&\to n+{\tilde {\nu }}\\\end{aligned}}$ Konkurrenzprozeß: Kerneinfang{{#set:Fachbegriff=Kerneinfang|Index=Kerneinfang}}

II. Kernspaltung und Fusion

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion{{#set:Fachbegriff=Fusion|Index=Fusion}}, für schwerere Kerne durch Spaltung{{#set:Fachbegriff=Spaltung|Index=Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle{{#set:Fachbegriff=Spaltschwelle|Index=Spaltschwelle}} behindert.

Spaltung

miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung

Coulombenergie

$B_{3}\to B_{3}(1-{\frac {1}{5}}\epsilon )^{2}$ nimmt ab.

Oberflächenenergie

$B_{2}\to B_{2}(1+{\frac {2}{5}}\epsilon )^{2}$ nimmt zu.

Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.

Rechnung: $Z^{2}/A\lesssim 51$

Für $Z^{2}/A\lesssim 51$ Spaltschwelle:

miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle

Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} bei Neutroneneinfang{{#set:Fachbegriff=Neutroneneinfang|Index=Neutroneneinfang}}. Für thermische Neutronen{{#set:Fachbegriff=thermische Neutronen|Index=thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie

bei $^{235}U+n\to ^{236}U+6,4MeV\quad (g,u){\underset {n}{\to }}(g,g)$

bei $^{238}U+n\to ^{239}U+4,8MeV\quad (g,g){\underset {n}{\to }}(g,u)$

Die fehlende Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} bei $^{239}U$ bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei $^{238}U$ der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.

Allgemein Spaltprozeß: $^{235}U+n{\textrm {(thermisch)}}\to ^{236}U\to X+Y+kn$

Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, $\beta ^{-}$-Zerfall, z.B.

miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke

Grobe Abschätzung für $^{235}U$-Verbrauch:

$1kg\quad ^{235}U:E=N\Delta E\backsimeq {\frac {1000}{235}}6\times 10^{23}\times 2\times 10^{8}\times 1,6\times 10^{-19}{Ws}\backsimeq 8\times 10^{13}{Ws}\backsimeq 10^{8}{MWd}$

Fusion

Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls{{#set:Fachbegriff=Coulombwalls|Index=Coulombwalls}} oberhalb von $1keV\approx 1,210^{7}K$ möglich (z.B. Sonneninnere mit $T\approx 1,510^{7}K$ und $\rho \approx 10^{5}kg/m^{3}$).

Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium $d+^{3}H\to {\underset {3MeV}{^{4}He}}+{\underset {14MeV}{n}}+17,6MeV$

$n+^{7}Li\to ^{4}He+\underbrace {^{3}H} _{t_{1/2}\approx 12a}+n-2,5MeV$

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel miniatur miniatur miniatur