Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

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Der Artikel Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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$(\mathfrak{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\mathrm{\Psi }=0\iff [\mathfrak{i}({\gamma }^0{\partial }_t+{\gamma }^1{\partial }_{x^1}+{\gamma }^2{\partial }_{x^2}+{\gamma }^3{\partial }_{x^3})-m]\mathrm{\Psi }=0$

a) Separationsansatz{{#set:Fachbegriff=Separationsansatz|Index=Separationsansatz}} $\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)=e^{-\mathfrak{i}Et}\varphi \left(\underset{\_}{x}\right)$

$[\mathrm{E}{\gamma }^0+\mathfrak{i}({\gamma }^1{\partial }_1+{\gamma }^2{\partial }_2+{\gamma }^3{\partial }_3)-m]\varphi \left(\underset{\_}{x}\right)=0$

(1.66)

Ansatz $\varphi \left(\underset{\_}{x}\right)=\varphi =const\Rightarrow (E{\gamma }^0-m)\varphi =0$ (Eigenwertgleichung)

${\gamma }^0\varphi =\frac{m}{E}\varphi \iff \left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\\ \end{array}\right)\varphi =\frac{m}{E}\varphi$

(hat 2 Eigenwerte)

$\frac{m}{E}=+1\iff {\varphi }_{+}=\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)und\frac{m}{E}=-1\iff {\varphi }_{-}=\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 0\\ & u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)$

(1.67)

Diskussion:

• ${\mathrm{\Psi }}_{+}=e^{-\mathfrak{i}Et}\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right),E=+m{c}^2$, zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie $E=m{c}^2>0$
• Zwei Komponenten u₁, u₂ beschreiben Spin - ½, z.B.

$\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rl}& 1\\ & 0\\ \end{array}\right)=|\uparrow ⟩\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 1\\ \end{array}\right)=|\downarrow ⟩$

(1.68)

→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

${\mathrm{\Psi }}_{-}=e^{-\mathfrak{i}Et}\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 0\\ & u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right),E=-m{c}^2$zwei linear unabhängige Lösungen

(1.69)

hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

„Anschauliche Interpretation“

• Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
• Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand{{#set:Fachbegriff=Vakuumzustand|Index=Vakuumzustand}}“), in dem alle Einzelteilchenzustände ${\mathrm{\Psi }}_{-}$besetzt sind.
• Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand ${\mathrm{\Psi }}_{+}$.
• „Teilchen-Loch{{#set:Fachbegriff=Teilchen-Loch|Index=Teilchen-Loch}}“ Anregung: Anregung von ${\mathrm{\Psi }}_{+}$ nach ${\mathrm{\Psi }}_{-}$ lässt „Loch“ im „Fermi-See{{#set:Fachbegriff=Fermi-See|Index=Fermi-See}}“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
• nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

Vorteile der Löcher-Theorie:

• Vorrausage des Positron{{#set:Fachbegriff=Positron|Index=Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
• Paarvernichtung / Erzeugung

Nachteile der Löcher-Theorie:

• Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
• Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.

→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): $\mathrm{\Psi }$ als Feld, das quantisiert wird.

b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“) Ansatz${\mathrm{\Psi }}_{\pm }=e^{\mp (Et-\underset{\_}{k}.\underset{\_}{x})}{\varphi }_{\pm }(E,\underset{\_}{k}),E=+\sqrt{k^2+m^2}>0$ mit $k_{\mu }{x}^{\mu }:=Et-\underset{\_}{k}.\underset{\_}{x}\Rightarrow k_{\mu }=(E,-k_x,-k_y,-k_z)$

$\begin{array}{rl}& ({\gamma }^{0}E-{\gamma }^1{k}_x-{\gamma }^2{k}_y-{\gamma }^3{k}_z-m){\varphi }_{+}=0\iff ({\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }-m){\varphi }_{+}=0\\ & (-{\gamma }^{0}E+{\gamma }^1{k}_x+{\gamma }^2{k}_y+{\gamma }^3{k}_z-m){\varphi }_{-}=0\iff ({\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }+m){\varphi }_{-}=0\\ \end{array}$

(1.70)

(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren)${\varphi }_{\pm }$.

Lösung wie Matrixgleichung $\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\underset{\_}{x}=0$möglich, einfacher Trick:

$\begin{array}{rl}& ({\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }-m)({\gamma }^{\nu }{k}_{\nu }+m)={\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }{\gamma }^{\nu }{k}_{\nu }-m^2=E^2-k^2-m^2=0,\\ & mit{\left({\gamma }^{\mu }\right)}^2=\pm 1,E^2=k^2+m^2,\hslash =c=1\\ \end{array}$

---

$({\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }-m)\underset{{\tilde{\varphi }}_{+}}{\underbrace{({\gamma }^{\nu }{k}_{\nu }+m)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)}}=0$ $\begin{array}{rl}& {\tilde{\varphi }}_{+}=(E+m)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)-k_x\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_x\\ -{\sigma }_x& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)-k_y...\\ & =\left(\begin{array}{rl}& (E+m)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)\\ & \underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma }\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)\\ \end{array}\right)\end{array}$

$({\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }-m)\underset{{\tilde{\varphi }}_{-}}{\underbrace{({\gamma }^{\nu }{k}_{\nu }+m)\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 0\\ & u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)}}=0$ $\begin{array}{rl}& -{\tilde{\varphi }}_{-}=-(E+m)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)-k_x\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_x\\ -{\sigma }_x& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)-k_y...\\ & =-\left(\begin{array}{rl}& \underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma }\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)\\ & (E+m)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)\\ \end{array}\right)\end{array}$

(1.71)

Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

$\begin{array}{rl}& {{\varphi }_{+}}^{\left(1\right)}=N\left(\begin{array}{rl}& (E+m){\underset{\_}{u}}^{\left(1\right)}\\ & (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma }){\underset{\_}{u}}^{\left(1\right)}\\ \end{array}\right){{\varphi }_{+}}^{\left(2\right)}=N\left(\begin{array}{rl}& (E+m){\underset{\_}{u}}^{\left(2\right)}\\ & (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma }){\underset{\_}{u}}^{\left(2\right)}\\ \end{array}\right)\\ & {{\varphi }_{-}}^{\left(1\right)}=N\left(\begin{array}{rl}& (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma }){\underset{\_}{u}}^{\left(1\right)}\\ & (E+m){\underset{\_}{u}}^{\left(1\right)}\\ \end{array}\right){{\varphi }_{-}}^{\left(2\right)}=N\left(\begin{array}{rl}& (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma }){\underset{\_}{u}}^{\left(2\right)}\\ & (E+m){\underset{\_}{u}}^{\left(2\right)}\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

(1.72)

AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass ${\left|{{\varphi }_{\pm }}^{\left(i\right)}\right|}^2=1$ Zeige ${{\varphi }_{\pm }}^{\left(1\right)}\mathrm{\perp }{{\varphi }_{\pm }}^{\left(2\right)}$ aber$\varphi {+}^{\left(1\right)}\text{ NOT }\mathrm{\perp }{{\varphi }_{-}}^{\left(1\right)}$ Hierbei gilt ${\underset{\_}{u}}^{\left(1\right)}\mathrm{\perp }{\underset{\_}{u}}^{\left(2\right)},\left|{\underset{\_}{u}}^{\left(i\right)}\right|=1$