Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
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Kategorie:Quantenmechanik
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Wir starten von
- Kontinuitätsgleichung mit
(1.45) und (1.45)+![{\displaystyle \Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5471531a3fe80741a839bc98d49fae862a6439a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathfrak {i}}{{\Psi }^{+}}{\dot {\Psi }}\quad ={{\Psi }^{+}}\left({\underline {\alpha }}.{\hat {\underline {p}}}+\beta m\right)\Psi \\&-{\mathfrak {i}}{{\dot {\Psi }}^{+}}\Psi \quad ={{\left({\underline {p}}\Psi \right)}^{+}}{\underline {\alpha }}\Psi +m{{\Psi }^{+}}\beta \Psi \\&------------------------\\&{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\underbrace {\left({{\Psi }^{+}}\Psi \right)} _{:=\rho }\quad ={{\Psi }^{+}}{\underline {\alpha }}\left({\underline {p}}\Psi \right)-{{\left({\underline {p}}\Psi \right)}^{+}}{\underline {\alpha }}\Psi \\&\quad =-{\mathfrak {i}}\sum \limits _{k}{{{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\left({{\partial }_{k}}\Psi \right)-{{\left({{\partial }_{k}}\Psi \right)}^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi }\\&\quad =-{\mathfrak {i}}\sum \limits _{k}{{{\partial }_{k}}\underbrace {\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi \right)} _{:={{j}_{k}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cc6696f1cb9ebc2a5990b6d4c5fc69ea33c0ac)
- mit der Wahrscheinlichkeitsdichte{{#set:Fachbegriff=Wahrscheinlichkeitsdichte|Index=Wahrscheinlichkeitsdichte}} ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte{{#set:Fachbegriff=Wahrscheinlichkeitsstromdichte|Index=Wahrscheinlichkeitsstromdichte}} jk.
- Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors
zusammen.
- Lorentz-Invarianz
Umdefinieren der Matrizen
als
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(1.49)
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(z.B.
)
Relativistische Notation
kontravarianter VierervektorVierervektor{{#set:Fachbegriff=Vierervektor|Index=Vierervektor}} mit Index oben
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(1.50)
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kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)
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(1.51)
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- Das relativistische Skalarprodukt
bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.
hier mit
.
Für Vierervektoren
, die sich wie der Koordinatenvektor
bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist
Lorentz-invariant.
GradientVierergradient{{#set:Fachbegriff=Vierergradient|Index=Vierergradient}} (etc)
Die Dirac-Gleichung folgt aus
- Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen
Es muss also gelten
(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)
Lorentz-Transformation
Koordinaten
Ableitung
Wellenfunktion (4er Spinor)
Ruhemasse ist dieselbe
Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung
Also muss gelten
Multiplikation von S-1 von links
Vergleich mit (1.57)
Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.
Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)
Berechnung (AUFGABE) ergibt
- Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)
Lorentz-Invarianz von
: zeige
wobei
→
Lorentz-Invarianz von