Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

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Der Artikel Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Die klassische relativistische Dispersionsrelation{{#set:Fachbegriff=Dispersionsrelation|Index=Dispersionsrelation}} $E=E\left({\underline {p}}\right)$ für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:

${{E}^{2}}={{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}$

(1.15)

• Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:

${\begin{aligned}{\text{Magnetfeld}}\quad {\underline {B}}&={\underline {\nabla }}\times {\underline {A}}\\{\text{elektrisches Feld}}\quad {\underline {E}}&=-{\underline {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{{\partial }_{t}}{\underline {A}}\\\end{aligned}}$

(1.16)

• E und B ändern sich nicht bei Eichtransformation{{#set:Fachbegriff=Eichtransformation|Index=Eichtransformation}}

${\begin{aligned}&{\underline {A}}\to {\underline {A}}+{\underline {\nabla }}.\chi \\&\phi \to \phi -{\frac {1}{c}}{{\partial }_{t}}\chi \\\end{aligned}}$

(1.17)

mit einer beliebigen skalaren Funktion $\chi =\chi \left({\underline {x}},t\right).$

• Klassische Mechanik: E und B in Hamiltonfunktion{{#set:Fachbegriff=Hamiltonfunktion|Index=Hamiltonfunktion}} eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch

$H={\frac {{p}^{2}}{2m}}\to H={\frac {{\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}{2m}}+e\phi$

(1.18)

aus den Hamilton-Gleichungen{{#set:Fachbegriff=Hamilton-Gleichungen|Index=Hamilton-Gleichungen}} ${\underline {\dot {r}}}={{\partial }_{\underline {p}}}H\quad {\underline {\dot {p}}}=-{{\partial }_{\underline {r}}}H$ folgt (AUFGABE)

$m{\ddot {\underline {r}}}=e\left({\dot {\underline {r}}}\times {\underline {B}}+{\underline {E}}\,\right)$

d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn $\left({\dot {\underline {r}}},{\underline {r}}\right)$im Phasenraum nicht von $\chi$ vgl. (1.17) abhängt.

• Quantenmechanik
  • Schrödingergleichung durch Korrespondenzprinzip{{#set:Fachbegriff=Korrespondenzprinzip|Index=Korrespondenzprinzip}} ${\underline {p}}\to {\hat {p}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}$

${\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi =\left\{{\frac {{\left({\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}{2m}}+e\phi \right\}\Psi$

(1.19)

(durch Vergleich mit (1.18))

• • Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz{{#set:Fachbegriff=Prinzip der lokalen Eichinvarianz|Index=Prinzip der lokalen Eichinvarianz}} (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
    • Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung ${\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\Psi ={\frac {{p}^{2}}{2m}}\Psi$
    • Schritt 2: Mit $\Psi \left({\underline {x}},t\right)$erfüllt auch $\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{i\varphi }}$mit $\varphi \in \mathbb {R}$konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:

Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen

$\int {{{\Psi }^{*}}\left({\underline {x}},t\right){\hat {O}}\left({\underline {x}},{\underline {\nabla }},{{\partial }_{t}}\right)\Psi \left({\underline {x}},t\right){{d}^{d}}x}={\text{invariant}}$

(1.20)

• • • Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen

$\Psi \left({\underline {x}},t\right)\to \Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}$

(1.21)

nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch $\Psi {{e}^{i\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}$ eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.

Lösung

Lösung: In (1.20) machen ${\underline {\nabla }}$ und ${{\partial }_{t}}$in

${\hat {O}}\left({\underline {x}},{\underline {\nabla }},{{\partial }_{t}}\right)$

Probleme, da z.B.

${\underline {\nabla }}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{i\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}\neq {{e}^{i\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}{\underline {\nabla }}\Psi \left({\underline {x}},t\right)$

(1.22)

was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.

Idee: ersetze Ableitung ${\underline {\nabla }}$durch „kovariante Ableitung{{#set:Fachbegriff=kovariante Ableitung|Index=kovariante Ableitung}}“ D, so dass

${{\underline {D}}_{\phi }}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}={{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}{\underline {D}}\Psi \left({\underline {x}},t\right)$

(1.23)

Mit dem Ansatz ${{\underline {D}}_{\varphi }}={\underline {\nabla }}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)$ und ebenso für die Zeitableitung ${{\partial }_{t}}\to D_{\varphi }^{0}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left(t\right)$ folgt dann

${\begin{aligned}&{{\underline {D}}_{\varphi }}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}=\left({\underline {\nabla }}\Psi \right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}+\Psi {\mathfrak {i}}\left({\underline {\nabla }}\varphi \right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)\quad ={{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}\left({{\underline {D}}_{\varphi }}+{\mathfrak {i}}{\underline {\nabla }}\varphi \right)\Psi \\&D_{\varphi }^{0}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}=\quad \quad \quad \quad \quad \quad ={{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}\left({\underline {D}}_{\varphi }^{0}+{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\varphi \right)\Psi \\\end{aligned}}$

Die lokale Eichtransformation bewirkt also

${\begin{aligned}&{{\underline {D}}_{\varphi }}={\underline {\nabla }}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)\quad \leftrightarrow \quad {\underline {D}}={\underline {\nabla }}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)+{\mathfrak {i}}\nabla \varphi \left({\underline {x}},t\right)\\&{{D}_{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)\quad \leftrightarrow \quad {{D}^{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)+{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)\\\end{aligned}}$

(1.24)

Nun liefert der Vergleich mit (1.17)

${\underline {A}}\to {\underline {A}}+{\underline {\nabla }}.\chi \quad \phi \to \phi -{{\partial }_{t}}\chi \quad {\text{mit }}\chi \in \mathbb {R} \quad c=1$

${{\underline {f}}_{\varphi }}={\mathfrak {i}}\alpha {\underline {A}},\quad \varphi =\alpha \chi ,\quad {{g}_{\varphi }}=-{\mathfrak {i}}\alpha \varphi ,\quad \alpha \in \mathbb {R}$

in der Schrödingergleichung steht also statt ${\underline {\nabla }}$ nun ${\underline {\nabla }}+{\mathfrak {i}}\alpha {\underline {A}}$ und statt ${{\partial }_{t}}$ nun ${{\partial }_{t}}-{\mathfrak {i}}\alpha \varphi$ mit ${{\underline {f}}_{\varphi }},{{g}_{\varphi }}$ als Eichfelder.

Sei$\hbar =1$. Statt

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi ={\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {\underline {\nabla }}{\mathfrak {i}}}\right)}^{2}}\Psi \to {\text{nun }}{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi +\alpha \phi \Psi ={\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {\underline {\nabla }}{\mathfrak {i}}}+\alpha {\underline {A}}\right)}^{2}}\Psi$

Die Umbenennung von $\alpha \to -e$liefert

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi =\left\{{\frac {{\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}{2m}}+e\phi \right\}\Psi$

(1.25)

Diskussion

• Die „Vorschrift“ ${\underline {p}}\to {\underline {p}}-e{\underline {A}}$ heißt minimale Kopplung{{#set:Fachbegriff=minimale Kopplung|Index=minimale Kopplung}}
• Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die Kopplungskonstante{{#set:Fachbegriff=Kopplungskonstante|Index=Kopplungskonstante}} e quasi „hergeleitet“.
  • Jetzt Klein-Gordon-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Klein-Gordon-Gleichung|Index=Klein-Gordon-Gleichung}} mit ϕ, A: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung

${\begin{aligned}&{\hat {\underline {p}}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}\quad \to {\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}-e{\underline {A}}\\&{{\partial }_{t}}\quad \to {{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\phi \\\end{aligned}}$

(1.26)

${\begin{aligned}&\square =\partial _{t}^{2}-{{\underline {\nabla }}^{2}}\quad \to {{\left({{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\varphi \right)}^{2}}-{{\left({\underline {\nabla }}-{\frac {{\mathfrak {i}}e}{\hbar }}{\underline {A}}\right)}^{2}}\\&\left(\square +{{m}^{2}}\right)\Psi =0\quad \to \left\{{{\left({{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\varphi \right)}^{2}}-{{\left({\underline {\nabla }}-{\mathfrak {i}}e{\underline {A}}\right)}^{2}}+{{m}^{2}}\right\}\Psi =0\quad \left(\hbar =c=1\right)\\\end{aligned}}$

Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: ${\underline {A}}=0,\quad e\phi =-{\frac {Z}{\alpha }}$. Ähnlich wie bei derSchrödingergleichung{{#set:Fachbegriff=Schrödingergleichung|Index=Schrödingergleichung}} für das Wasserstoffproblem haben wir

$\left\{{{\left({{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\varphi \right)}^{2}}-\Delta +m_{0}^{2}\right\}\Psi =0$

(1.27)

Lösen durch Separationsansatz{{#set:Fachbegriff=Separationsansatz|Index=Separationsansatz}}

$\Psi \left(r,\theta ,\varphi ;t\right)={{e}^{{\mathfrak {i}}Et}}\underbrace {{{Y}_{lm}}\left(\theta ,\varphi \right)} _{{\text{Kugelfl }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ chenfunktionen}}}{\frac {\chi \left(r\right)}{x}}$

• Radialgleichung für Radialwellenfunktionen{{#set:Fachbegriff=Radialwellenfunktionen|Index=Radialwellenfunktionen}}$\chi \left(r\right)$
• Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert

$E=\pm {{m}_{0}}\left(1-{\frac {{{Z}^{2}}{{\alpha }^{2}}}{2{{n}^{2}}}}+{\frac {{{Z}^{2}}{{\alpha }^{4}}}{{n}^{4}}}\left[{\frac {3}{8}}-{\frac {n}{2l+1}}\right]+O\left({{z}^{6}}{{\alpha }^{6}}\right)\right)$

(1.28)

hier gibt es positive und negative Lösungen $\underbrace {n} _{\text{Hauptquantenzahl}}\equiv \underbrace {{n}_{r}} _{\text{Radialquantenzahl}}+1+l$

Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms

Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.

Spin ½ → Dirac Gleichung